Es el functor natural Set $\to$ ¿Conservador Rel?

Question

Un functor conservador es un functor tal que para cualquier morfismo $f$ en $C$ , $F(f)$ siendo un isomorfismo implica que f es un isomorfismo. Rel representa el categoría de relaciones .

Mi pregunta es si el functor natural Establecer $\to$ Rel ¿Conservador?

Para empezar, intentemos "demostrarlo". Dejemos que $F$ sea el functor natural que envía un conjunto al mismo conjunto, y un mapa a su grafo (que es una relación). El mapa de identidad corresponde a la diagonal.

Si $F(f)\in \text{Hom}_{\textbf{Rel}}(X,Y)$ es un isomorfismo, entonces existe un $g'\in \text{Hom}_{\textbf{Rel}}(Y,X)$ tal que las composiciones de las mismas son diagonales. Tengo problemas para producir una $g\in \text{Hom}_{\textbf{Set}}(Y,X)$ cuya composición con $f$ son identidades. Tal vez sea falso.

Answer 1

En efecto, es conservador. De hecho, cualquier isomorfismo en $\mathbf{Rel}$ es de hecho una función y esa función es un isomorfismo.

Para ver esto supongamos que $R \subseteq X \times Y$ es un isomorfismo en $\mathbf{Rel}$ con el inverso $S \subseteq Y \times X$ . Entonces, mirando la composición $RS = \mathrm{id}_X$ vemos que el dominio de $R$ es $X$ . Desde $SR = \mathrm{id}_Y$ obtenemos que el rango es $Y$ . Del mismo modo, el dominio y el rango de $S$ es $Y$ y $X$ respectivamente.

Supongamos ahora que $x \in X$ y $y, z \in Y$ tal que $xRy$ y $xRz$ . El elemento $x$ está en el rango de $S$ así que elige $u \in Y$ tal que $uSx$ . Entonces, por definición, tenemos $uSRy$ y $uSRz$ así que $SR = \mathrm{id}_Y$ implica $y = u = z$ . Así, $R$ es una función. Por simetría $S$ es una función y $RS$ es sólo composición de funciones, por lo que $R$ y $S$ son inversos en $\mathbf{Set}$ .