¿Es 1 siempre un elemento en el grupo multiplicativo?

Question

Dejemos que $\mathbb{G}_T$ sea un grupo multiplicativo.

Es 1 $\in \mathbb{G}_T$ ?

Creo que es cierto, porque si $a \in \mathbb{G}_T$ entonces $a^{-1} \in \mathbb{G}_T$ Así que $aa^{-1} =1 \in \mathbb{G}_T$ .

¿Es cierto el argumento anterior?

Answer 1

Los axiomas de un grupo $G$ son

1. Asociatividad
2. La existencia de un elemento $e$ tal que $ge = eg = g$ para todos $g\in G$ .
3. Para todos $g\in G$ hay un $g^{-1}\in G$ tal que $gg^{-1} = g^{-1}g = e$ .

Así que la existencia de una identidad multiplicativa es requerida por los axiomas y no es algo que tengas que demostrar.

Answer 2

Siempre es cierto que un grupo contiene un elemento neutro. Sin embargo, no es necesariamente "el" $1$ que es este elemento. En cambio, es costumbre para denotar el elemento nuetral en prácticamente cualquier grupo (escrito multiplicativamente) por el símbolo $1$ .

Answer 3

Por definición, todo grupo $G$ contiene un elemento de identidad/neutral, es decir, hay un elemento $h \in G $ tal que $hg=gh = g$ por cada $g \in G$ . Se puede demostrar que este elemento es siempre único.

No es infrecuente utilizar la notación $1_G$ o simplemente $1$ para este elemento cuando se utiliza la notación multiplicativa.

Sin embargo, este elemento, denominado $1$ no está necesariamente relacionado con el número $1$ de ninguna manera.

Sobre tu argumento: utilizas al menos que el grupo es no vacío. En efecto, si no exigiéramos la existencia de un elemento neutro como axioma, el conjunto vacío sería un grupo. Además, ten en cuenta que $aa^{-1}$ es el elemento neutro. Para definir lo que es un inverso se necesita un elemento neutro para empezar.

Permítanme añadir (basado en un comentario) que si su grupo es el subgrupo del grupo multiplicativo de un campo finito $F$ entonces, sí, este subgrupo siempre contendrá $1 \in F$ la identidad multiplicativa de $F$ .