Punto límite de la función sin en el análisis real

Question

Si un conjunto $S= \sin(n\pi/2)$ y $n$ es un número natural, entonces cuál sería su punto límite. Supongo que su punto límite debería ser el conjunto Nulo porque este conjunto es un conjunto finito que sólo tiene $3$ valores reales { $-1,0,1$ }. ¿Puede alguien bolsas para diferir, porque la respuesta parece ser que estos $3$ son puntos límite.

Answer 1

Su respuesta es correcta. Considere $a_n=\sin\left(\frac{n \pi}{2}\right) $ para $n=k$ para $n=k+1$ , para $n=k+2$ y para $n=k+3$ . Entonces divides tu secuencia en 3 subsecuencias que una de ellas converge a 1,0,-1 respectivamente. En este tipo de problemas hay que tomar las subsecuencias $mod 2\pi $ para encontrar todos los puntos límite. Por ejemplo, si tiene $b_n=\cos(n \pi / 6 ) $ hay que considerar 12 subsecuencias para cubrir todos los casos . Por otro lado, si se tiene $c_n=\sin(n) , n\in \mathbb{N}$ entonces esto es un verdadero problema. Alguien tiene que utilizar técnicas especiales para demostrar que cada punto de $[-1,1]$ es un punto límite de $c_n$