Norma de campo de $F(\sqrt[n]{a})$

Question

Dejemos que $F$ sea un campo de característica cero que contenga una primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad. Elige $a$ tal que $K=F(\sqrt[n]{a})$ es una extensión cíclica de $F$ de grado $n$ . Sea $\sigma$ sea un generador de $Gal(K/F)$ . ¿Existe un buen formulario para $N_{K/F}:K\rightarrow F$ que no sea

$$ N_{K/F}(\alpha)=\prod_{i=0}^{n-1}\sigma^{i}(\alpha)$$

Me parece que las extensiones cíclicas se estudian a menudo y no consigo encontrar la referencia correcta. Si alguien pudiera indicarme una referencia sería estupendo.

No hay nada malo en esa forma. Aunque no es súper útil para mí aquí. Quiero hacer cálculos explícitos con una valoración en $F$ que se extiende hasta $K$ y un álgebra de división sobre $F$ . No he tenido mucho éxito con esta fórmula y nos preguntamos si hay otra bien conocida?

En particular, me interesa utilizar esta forma para demostrar que la extensión no está ramificada.

Answer 1

Estoy seguro de que es consciente del hecho de que la norma de $a$ es también, hasta el signo, la constante del polinomio característico de $a$ en $K$ (no el polinomio mínimo). También es el determinante de $a$ en la representación regular. Es decir, $z\mapsto za$ es un $F$ -transformación lineal de la $F$ -espacio vectorial $K$ y tiene un determinante, que es independiente de la $F$ -base que elija para $K$ . Esa es la $K$ -sobre- $F$ norma de $a$ . Así que no se necesita un grupo de Galois para calcular la norma.