Dificultad conceptual en la comprensión de espacio vectorial continua

Question

Tengo una muy ridículo duda que me viene molestando, desde que comencé a aprender la mecánica cuántica.

Si tenemos en cuenta lo finito dimensional espacio vectorial para la tirada$\frac{1}{2}$ partículas, supongo que no es nada sino $\mathbb{C}^2$. Cada vector tiene dos componentes (razón por la cual es de dos dimensiones, ¿verdad ?), cada uno de los cuales puede ser cualquier número complejo.

Ahora se viene para el caso de la posición del espacio (digamos de una dimensión). Me enseñaron esto LVS es infinito dimensional (también continuamente infinito, a diferencia del número de operador de base). Yo no soy capaz de entender esta cosa sutil que es infinte dimensiones (es algo así como la $\mathbb{R}^\infty$?). Es bastante confuso cada vez que me encuentro con este tipo de espacio. También en este cada componente (de la infinita no. de ellos) puede tomar cualquier valor real (número infinito de ellos)? He aprendido que la forma de representar estos pueden ser en el término de complejo de funciones con valores, me gustaría que lo han aclarado.

Answer 1

Su duda no es ridículo, es probablemente debido simplemente a la manera confusa a menudo se enseñan matemáticas en la física. (Yo soy un físico demasiado y, durante mi carrera, he tenido que soportar ridículo ideas erróneas, perdiendo mucho tiempo en la lucha contra la inexistente pseudo-problemas matemáticos en lugar de centrarse en los auténticos problemas físicos). Hay sensible definiciones matemáticas, pero también hay un uso práctico de las matemáticas en la física. Los desastres surgen, en mi opinión, cuando los dos niveles son confusos, especialmente mientras que la enseñanza de los estudiantes.

El espacio de Hilbert de una partícula en QM es no continua: es un espacio de Hilbert separable, $L^2(\mathbb R)$ que, en vista de ser separables, admite discretos contables bases ortogonales.

Por otra parte, un conocido teorema demuestra que si un espacio de Hilbert admite una contables ortonormales, entonces todos los demás base contable (en general, todos los Hilbert bases tienen la misma cardinalidad).

En $L^2(\mathbb R)$, un contable con significado físico es, por ejemplo, que el hecho de que los vectores propios $\psi_n$ del oscilador armónico operador Hamiltoniano.

Sin embargo, es conveniente para la práctica de los cálculos también se habla de formal vectores propios de, por ejemplo, la posición del operador: $|x\rangle$. En este caso, $x \in \mathbb R$, por lo que podría parecer que $L^2(\mathbb R)$ admite también innumerables bases. Es falso! $\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ es no un ortonormales. Es sólo un objeto formal, (muy) útil en los cálculos.

Si usted desea hacer riguroso de estos objetos, usted debe imaginar el espacio de los estados como un directo integral sobre $\mathbb R$ finito de espacios dimensionales $\mathbb C$, o como un amañado espacio de Hilbert. En ambos casos, sin embargo, $\{|x\rangle\}_{x\in \mathbb R}$ no es un ortonormales Hilbertian base. Y $|x\rangle$ no pertenece a $L^2(\mathbb R)$.

Como observación final, me gustaría hacer hincapié en que los vectores de $L^2(\mathbb R)$ son clases de equivalencia de funciones: $\psi$ es equivalente a $\phi$ fib $\int| \psi(x)−\phi(x)|^2 dx=0$, por lo que si $\psi(x)\neq \phi(x)$ sobre un conjunto cuya medida se desvanece, se definen sin embargo, el mismo vector de $L^2$. En consecuencia, el valor de un elemento del espacio supone que en un determinado $x$ no tiene ningún sentido, ya que cada conjunto $\{x\}$ tiene medida cero.