¿Cuándo el producto XY de dos variables aleatorias continuas no está correlacionado con X?

Question

Dejemos que $X$ , $Y$ sean dos variables aleatorias independientes definidas en la recta real por una distribución fija $\mathcal{D}$ . Sea $Z = XY$ el producto de $X$ y $Y$ .

Para qué opciones de $\mathcal{D}$ es $Z$ sin correlación con las variables individuales $X, Y$ Así que $\rho_{Z, X} = \frac{\text{cov}\{Z, X\} } {\sigma_{Z} \sigma_{X}} = 0$ ?

Por ejemplo, para $X, Y \sim \mathcal{N}(0,1)$

> N <- 1000000
> set.seed(1)
> x <- rnorm(N)
> y <- rnorm(N)
> xy <- x*y
> cor(xy, x)
[1] -0.0001072026

este parece ser el caso.

Agradecería que me indicaran (i) una derivación de esto para el caso gaussiano y (ii) cualquier resultado relativo a las características de la densidad que determinan si esta independencia se mantiene.

Answer 1

Para las variables aleatorias iid $X$ y $Y$ con una varianza finita, se establece $Z = XY$ y observe que $Z$ también tiene una varianza finita como puede deducirse, por ejemplo, de las fórmulas de esta pregunta y sus respuestas . En consecuencia, $\rho(Z,X)$ es igual a $0$ si y sólo si $\operatorname{cov}(Z,X)$ es igual a $0$ . Pero, \begin{align} \operatorname{cov}(Z,X) &= E[ZX]-E[Z]E[X]\\ &= E[X^2Y]-E[XY]E[X]\\ &= E[X^2]E[Y]-E[X]E[Y]E[X] &\scriptstyle{X,Y}~\text{independent}\implies X^2,Y~\text{also independent}\\ &= \left(E[X^2]-(E[X])^2\right)E[Y]\\ &= \sigma_X^2E[Y]\\ &=0 ~~\text{if and only if }~\sigma_X^2 = 0 ~ \text{or} ~E[Y]=0. \end{align} De la misma manera, $\operatorname{cov}(Z,Y)=0$ si y sólo si $\sigma_Y^2 = 0$ o $E[X]=0$ . Por supuesto, ya que $X$ y $Y$ se distribuyen de forma idéntica, $\sigma_X^2=\sigma_Y^2$ y $E[X]=E[Y]$ . En resumen, lo que el comentario de @whuber llama una condición "(trivialmente) verdadera" para que el resultado se mantenga no sólo es suficiente, sino también necesario, excepto en el caso especial en que la distribución común tiene varianza cero y, por tanto, tanto $X$ y $Y$ casi con seguridad son iguales a la misma constante (que es también su valor esperado común) y esta constante (también conocida como $E[X]=E]Y]$ ) no necesita ser $0$ .