$((A\iff B)\land(C\implies A))\implies((A\iff B)\land(C\implies(A\iff B)))$ ?

Question

Nota: He cambiado el sentido de esta pregunta después de publicarla.

He utilizado un atajo en mis notas que no estoy seguro de que sea un uso correcto de la notación lógica. Como mis notas se escribieron originalmente sólo para mi uso, eso no ha supuesto un problema, ya que sé lo que quería decir. Pero últimamente me he inclinado por hacer las cosas bien, independientemente de quien las mire.

Lo que hago es, si tengo una situación en la que tengo una equivalencia entre dos términos, digamos $A\iff B,$ y también tengo la implicación $C\implies A,$ como atajo escribo $C\implies\left(A\iff B\right)$ para significar

$$\left(\left(A\iff B\right)\land\left(C\implies A\right)\right)\implies\left(C\implies B\right).$$

Ayer me convencí de que esto está mal. Hoy me he convencido de que es, de hecho, correcto. Creo que mi error de ayer fue que omití la segunda instancia de $\left(A\iff B\right)$ en

$$\left(\left(A\iff B\right)\land\left(C\implies A\right)\right)$$

$$\implies\left(\left(A\iff B\right)\land\left(C\implies\left(A\iff B\right)\right)\right).$$

Así que ahora pregunto si la afirmación de dos líneas inmediatamente anterior es correcta. ¿Y significa

$$\left(\left(A\iff B\right)\land\left(C\implies A\right)\right)\implies\left(C\implies B\right)?$$

Answer 1

Sí, esto es cierto, pero no creo que tenga el mismo propósito de anotación que usted pretende. $C\implies (A\iff B)$ no le dice que $C\implies A$ ; no se puede deducir $C\implies A$ de esto.

De la misma manera, $C\implies A$ no le ayuda a concluir $C\implies (A\iff B)$ . Esto se desprende puramente de la $A\iff B$ ser verdad.

En realidad no usas tu suposición de que $C\implies A$ en absoluto. La siguiente es una forma verdadera y reducida de su declaración:

$(A\iff B) \implies ((A\iff B) \land (C \implies (A\iff B))$

Ya que si tiene $P$ siempre puedes mostrar $Q\implies P$ para cualquier $Q$ trivialmente.

De hecho, estas dos afirmaciones son exactamente lo mismo, por lo que incluso podemos meter una flecha iff.

$(A\iff B) \iff ((A\iff B) \land (C \implies (A\iff B))$

Como puedes ver, en realidad no dice nada fuerte. No hay que acostumbrarse a utilizar esta afirmación (mucho más débil) como notación para la otra.

Answer 2

Me pregunto si lo que está preguntando es esto:

Son $(A \leftrightarrow B) \land (C \rightarrow A)$ y $(A \leftrightarrow B) \land (C \rightarrow B)$ ¿son lógicamente equivalentes?

O, incluso más general: Si $S(\varphi)$ es un enunciado de lógica proposicional que tiene $\varphi$ como una declaración de componente, y si $S(\psi)$ es el resultado de sustituir $\psi$ para $\varphi$ entonces son $(\varphi \leftrightarrow \psi) \land S(\varphi)$ y $(\varphi \leftrightarrow \psi) \land S(\psi)$ ¿equivalente?

La respuesta es sí: cualquier valoración establece $(\varphi \leftrightarrow \psi) \land S(\varphi)$ a True si y sólo si establece $\varphi$ y $\psi$ al mismo valor de verdad, y $S(\varphi)$ a True, que es si y sólo si establece $\varphi$ y $\psi$ al mismo valor de verdad, y $S(\psi)$ a True, y por lo tanto si y sólo si $(\varphi \leftrightarrow \psi) \land S(\psi)$ a Verdadero.