estadística mecánica - cálculo de la función de partición

Question

Consideremos un gas ideal de $N$ partículas contenidas en el volumen $V$ con espín unitario $\vec S$ . En particular, el componente z del espín es $S^z = -1,0,1$ . En un campo magnético externo $\vec B = B \hat z$ el Hamiltoniano se escribe como $$ H= \sum_{i=1}^N \frac{\vec p_i}{2m}-hS_i ^z$$ donde $p_i$ son los momentos y $h := \mu_B B$ . Utilizando el conjunto canónico a temperatura $T$ computar:

1. la función de partición $Z$

2. energía media $\langle E \rangle$

3. magnetización media $\langle M \rangle$ , donde $M = \mu \sum_i S_i ^z$

4. susceptibilidad $\chi=\frac{\partial M}{\partial h} |_{h=0}$

5. entropía $S$

Las preguntas 2, 4 y 5 no son un problema una vez que sé $Z$ y $M$ . El problema es, de hecho, el cálculo de estas dos funciones. Para la primera he intentado aplicar la definición $$Z=\int \frac{1}{h^{3N} N!} e^{-\beta H}dp dq= \int \frac{1}{h^{3N} N!} e^{-\beta \frac{\vec p^2}{2m}}dp dq$$ y luego calcular las integrales utilizando coordenadas esféricas para el $dp$ parte y $V$ para $dq$ . Para $M$ Intenté invertir el Hamiltoniano considerando que $H=E$ . Pero ahora, ¿cómo sigo? ¿Qué opinas de mi resolución? ¿Qué debo cambiar y cómo puedo continuar?

Answer 1

Para la función de partición, recuerde que tiene que sumar/integrar sobre todo microestados: todas las combinaciones de posiciones, momentos y espines de las partículas. Por lo tanto, su función de partición debe incluir integrales sobre $p$ y $q$ así como sumas superiores a $S$ .

Por lo tanto, para una sola partícula, la función de partición debería ser $$Z_1 = \sum_{S=-1,0,1}\int \frac{1}{h^{3}} e^{-\beta H(p,q,S)}dp dq.$$ Cuando rellenes el Hamiltoniano, recuerda incluir el término de espín; parece que lo has omitido en tu expresión para $Z$ . Afortunadamente, las integrales y las sumas son independientes y, por tanto, pueden separarse.

La integral sobre $q$ se toma sobre el volumen $V$ y trivialmente te da un factor $V$ ya que el integrando no depende de $q$ .

La integral sobre $p$ se toma sobre todo el espacio de momento, y te da una integral gaussiana (resoluble).

La suma da simplemente tres términos: $\exp(\beta\mu_B B) + \exp(0) + \exp(-\beta\mu_B B)$ .

Para la función de partición completa $Z$ Tenemos que sumar e integrar sobre los momentos, coordenadas y espines de todas las partículas. Sin embargo, dado que todos ellos son independientes para un gas ideal, la función de partición completa es simplemente $Z = (Z_1)^N / N!$ .

Valores esperados $\langle A \rangle$ para una propiedad de una sola partícula $A$ se puede calcular integrando de nuevo todos los estados: $$\langle A \rangle = \frac{1}{Z_1} \sum_{S=-1,0,1}\int A(p,q,S) \frac{1}{h^{3}} e^{-\beta H(p,q,S)}dp dq.$$ Alternativamente, puede investigar cómo se relacionan los valores de expectativa de las cantidades termodinámicas, como la energía, con las derivadas parciales de la función de partición (o de la energía libre).