¿Por qué extraño $n$ tal comparado incluso con que $2^n\equiv1\pmod{2n-1}$ tan rara?

Question

No es particularmente raro que $$ 2^n\equiv1\pmod{2n-1} $$

Esto sucede 81 veces para n menos de un millón, a saber:

1, 2, 8, 128, 228, 648, 1352, 1908, 3240, 4608, 5220, 5976, 11448, 13160, 13920, 21528, 22050, 23760, 23940, 24840, 30960, 31284, 31584, 31968, 32768, 37224, 46092, 46512, 47268, 60480, 65664, 66528, 78540, 78600, 81728, 82800, 84312, 98406, 102672, 103968, 130416, 133560, 139248, 141840, 154980, 162792, 166716, 215100, 238368, 278520, 280368, 288360, 297252, 326200, 353808, 386400, 439740, 516528, 540260, 581400, 594720, 614052, 633420, 648440, 664668, 688968, 720000, 731808, 734448, 739620, 763425, 763848, 824670, 839808, 847000, 864468, 877380, 919100, 961020, 965808, 994728

De éstos, sólo dos (1 y 763425) son impares. Para que no os engañe por el uso de los números pequeños, ir a $10^8$ agrega otros dos probabilidades (10888425, 40068105) y 563 adicional iguala.

Hay una razón para esta (aparente) sesgo? La única diferencia obvia es que el $3\mid4^n-1$ pero $3\not\mid2\cdot4^n-1.$ Es suficiente?

Todos los impares de n que he encontrado hasta ahora, con sus (muy suave) factorizations:

1
763425 = 3^4 * 5^2 * 13 * 29
10888425 = 3^4 * 5^2 * 19 * 283
40068105 = 3 * 5 * 7 * 11 * 113 * 307
142086921 = 3 * 19 * 29 * 43 * 1999
191345625 = 3^3 * 5^4 * 17 * 23 * 29
462784725 = 3^3 * 5^2 * 13 * 23 * 2293
468545025 = 3 * 5^2 * 13 * 29 * 73 * 227
552451809 = 3 * 7 * 13 * 19 * 73 * 1459
595018305 = 3^5 * 5 * 7 * 43 * 1627
683993905 = 5 * 7 * 43 * 179 * 2539
956917125 = 3^3 * 5^3 * 37 * 79 * 97
1013987349 = 3^3 * 29 * 1295003
1024992045 = 3^2 * 5 * 7^3 * 11 * 6037
1567781325 = 3^5 * 5^2 * 11 * 29 * 809
1581567885 = 3^2 * 5 * 17 * 19 * 233 * 467
3094868865 = 3 * 5 * 11 * 19 * 987199
3312888345 = 3^2 * 5 * 13 * 17 * 43 * 61 * 127

Answer 1

Esto no puede ser una respuesta exacta, pero podría dar una pista: para una expresión $f(n)=2^n-1$ el conjunto de los números primos $p$, cuando es visto como candidatos para convertirse en primefactors de que la expresión, se convierte en "filtrada" por el $\operatorname{ord}_2(p)$- función, que es un divisor de a $\varphi(p)$ (Euler totient) : si $\operatorname{ord}_2(p)$ divide $n$, en el primer $p$ se convierte en un primefactor de $f(n)$.

Pero muchos de los que $\operatorname{ord}_2()$'s son aún, así que por extraño $n$ hay pocas primer factor de candidatos . Por ejemplo, el primefactors $3,5,11,...$ sólo puede ocurrir en $f(n)$ si $n$ es aún, y sólo el primefactors $7,23,31,47,71,...$ tienen impar de tales órdenes . (Un rápido numérica de verificación que dice, que un 29% de los impares, números primos hasta algunos k tienen impar $\operatorname{ord}_2(p)$).
(...) Parece, habrá un poco más que decir, pero tengo que mirarlo con más tiempo.