Si el HCF de los polinomios $x^3+px+q $ y $x^3+rx^2+lx+x$ es $x^2+ax+b$ entonces su LCM es? (siempre que $r≠0$ )

Question

He intentado multiplicar los dos polinomios juntos y luego dividirlos por el HCF (como producto=HCF*LCM), pero no he llegado a ninguna parte.

Entonces, utilicé el teorema del factor pero también me quedé atascado.

¿Alguien puede ayudar?

Answer 1

Tu idea funciona. Primero, comparando los coeficientes de $\,x^{\large 2}\,$ a continuación, los rendimientos $\,\color{#0a0}{f_1/g}\, =\, \color{#c00}{x-a}$

$\quad\ \ \smash[t]{\overbrace{x^{\large 3}+px+q}^{\Large\color{#0a0}{ f_1}}\, =\, (\color{#c00}{x+c})(\overbrace{x^{\large 2}+ax+b}^{\Large\color{#0a0} g})\,\Rightarrow\, \overbrace{0 = c+a}^{\Large {\rm coef\ of\ } x^2}\,\Rightarrow\, \color{#c00}{c = -a}} \phantom{|^{|^{|^{|^{|^I}}}}}$

Por lo tanto, $\ {\rm lcm}(f_1,f_2) = \dfrac{f_1 f_2}{\gcd(f_1,f_2)} = \dfrac{f_1 f_2}{g} = \color{#0a0}{\dfrac{f_1}{g}} f_2 = (\color{#c00}{x-a})f_2$

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Nota: $ $ De la misma manera: $ $ lcm $= (x\!+\!r\!-\!a)f_1,\ $ así que $\ (x\!+\!r\!-\!a)f_1 = (x\!-\!a) f_2.\ $ Así, $\ r = 0\,\Rightarrow\, f_1 = f_2.\,$ Por el contrario, $\, f_1 = f_2\,\Rightarrow\, r = 0\,$ comparando los coeficientes de $\,x^{\large 2}$ . Por lo tanto, la hipótesis $\, r\neq 0\,$ es redundante, ya que si $\,r = 0\,$ entonces $\,f_1 = f_2\,$ por lo que su gcd $= f_1\,$ tiene grado $3$ , contra hipótesis.

Answer 2

Si $b \neq 0$ ,

$$x^2+ax+b \mid x(x^2+rx+l+1) $$

Esto implicaría que $x^2+ax+b = x^2+rx+l+1 $ .

Y el LCM sería,

$$\frac{x(x^2+rx+l+1)(x^3+px+q)}{x^2+ax+b}=x^4+px^2+q$$

Si $b=0$ ,

$$x+a|x^2+rx+l+1$$

si divides encontrarás que el cociente es $x+(r-a)$ y el resto será $l+1-a(r-a)=0$

LCM es,

$$(x^3+px+q)(x+r-a)$$