Si $f$ es integrable de Riemann-Stieltjes, entonces ¿existe una partición en la que las longitudes de los subintervalos son iguales?

Question

Dejemos que $\alpha$ sea una función monotónicamente creciente.

Di, $f\in\mathscr{R}(\alpha)$ .

Entonces, ¿existe una partición $P=\{x_0,...,x_n\}$ tal que $$x_i=a+ \frac{b-a}{n}i,$$ $i\in\{0,\ldots,n\}$ y $$U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)<\epsilon$$ para cada $\epsilon>0$ ?

Answer 1

Este teorema es del libro Medida e integral por Zygmund & Wheeden:

Según este dato $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta\gt 0$ tal que para cualquier partición $\Gamma$ , si $|\Gamma|\lt\delta$ entonces $$U_\Gamma-L_\Gamma\lt\epsilon.$$

Por lo tanto, si su $f$ está acotado (debe estarlo, de lo contrario el $U(P,f,\alpha)$ o $L(P,f,\alpha)$ puede no tener sentido), dado $\epsilon\gt 0$ con el fin de elegir una partición uniforme $$P=\{a=x_0\lt\cdots\lt x_n=b\}$$ tal que $$U(P,f,\alpha)-L(P,f,\alpha)\lt\epsilon,$$ basta con elegir $n$ lo suficientemente grande como para que $$\frac{b-a}{n}\lt\delta.$$