Últimamente he estado leyendo y escribiendo mucho sobre la Clasificación de Wigner de los unitarios irreducibles de (la cubierta universal de) el grupo de Poincaré, tanto desde la perspectiva de un físico como de un matemático. Estoy tratando de conectar el tratamiento matemático (utilizando el trabajo de Mackey sobre los sistemas de imprimibilidad) con el tratamiento físico que se suele ver en los libros de texto sobre teoría cuántica de campos (como el de Weinberg). Mi pregunta es la siguiente:
En el tratamiento matemático, se calcula la estructura orbital de la acción del recubrimiento universal $SL(2,\mathbb{C})$ en $\mathbb{R}^{1,3}$ utilizando conjuntos de niveles de la forma lorentziana $\beta$ para cada órbita $O$ y cada dos puntos $x,y \in O \subset \mathbb{R}^{1,3}$ las longitudes invariantes de los vectores son las mismas, es decir $\beta(x,x) = \beta(y,y)$ . Este valor común se suele denominar $m^2$ .
En el tratamiento físico, se suele argumentar a través de los operadores de Casimir del álgebra de Lie del grupo de Poincaré, uno de los cuales es $P_\mu P ^\mu$ El "4-momento total". Por irreducibilidad de una representación correspondiente a una partícula elemental, debe actuar un escalar, que se denota $m^2$ también. En este caso, entiendo que este valor debe ser interpretado como la masa de la partícula (ver Masa en reposo y clasificación de Wigner donde Arnold Neumaier da una buena respuesta).
Mi pregunta es cómo la primera "definición" de $m^2$ está relacionado con el segundo. Es decir:
¿Por qué la longitud de un vector en un $SL(2,\mathbb{C})$ -de la órbita igual al valor propio del Casimir $P_\mu P^\mu$ ?
Entiendo que se trata de una pregunta muy concreta, y cualquier comentario o reflexión (incluso los que no intenten responder directamente a mi pregunta) son bienvenidos.
