¿Cómo encontrar los valores propios de esta matriz de forma sencilla?

Question

¿Alguien puede ayudar a encontrar los valores propios de la siguiente matriz de forma sencilla? Expandí el polinomio característico siendo, $$ \lambda(\lambda-3)(\lambda - 2k) = 0 $$ y obtener la respuesta, pero la intuición es que debe haber una forma sencilla de encontrarla. $$ \begin{bmatrix} 1 + k & 1 & 1 - k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 - k & 1 & 1 + k \\ \end{bmatrix} $$

Answer 1

Las tres filas suman 3. Eso significa $(1,1,1)$ es un vector propio con valor propio 3.

$(1,0,-1)$ parece ser también un vector propio. El valor propio de éste es $2k.$

Y la suma de los valores propios es igual a la traza de la matriz. (Y el producto es igual al determinante, pero eso es lo que estamos tratando de evitar calcular).

$0$ es el tercer valor propio. Podríamos haber averiguado esto también por el hecho de que las filas son linealmente dependientes.

Este método no es, en general, una buena manera de encontrar los valores propios, pero funciona en situaciones especiales.

Answer 2

Un vistazo a la matriz podría sugerir la cancelación de $k$ :

Multiplica tu matriz por $\begin{bmatrix}1 & y & 1\end{bmatrix}^T$ para conseguir $\begin{bmatrix}2 & 2 & 2\end{bmatrix}^T + y\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\end{bmatrix}^T$ .

Configuración $y = -2$ da $0$ como valor propio y $y = 1$ da $3$ como un valor propio. (Encuentre estos valores para $y$ ya sea mediante la inspección o la resolución $(2+y)y = 2 + y$ .)

Ahora la restricción de la traza da el último valor propio.