Algo así es algo cierto.
Partiendo de la idea de los módulos complejos, podemos decir que el cono de Kähler $C(X)$ de una variedad compleja compacta $X$ debe ser un "espacio de Kähler" para la variedad. Cada clase de Kähler $\omega$ define un producto interior sobre el espacio de los reales $(1,1)$ -clases sobre $X$ . Si identificamos esas clases con el espacio tangente de $C(X)$ en $\omega$ entonces obtenemos una métrica de Riemann sobre $C(X)$ . Esa métrica también puede obtenerse observando el potencial $\omega \mapsto - \log \operatorname{Vol} (X,\omega)$ . A continuación, se puede calcular el tensor de curvatura de esta métrica, ya sea en cohomología o eligiendo representantes suaves en cada clase de Kähler. También podemos hacerlo sobre el cono de Kähler "complejizado" $C(X) \oplus i H^{1,1}(X,\mathbb R)$ y obtener una métrica de Kähler.
Si tenemos una familia de variedades de Kähler $\mathcal X \to S$ sobre una base lisa $S$ podemos hacer esta construcción en el cono de Kähler relativo $\mathcal C \to S$ cuya fibra sobre $s$ es el cono de Kähler de $X_s$ . Ahora, en cada punto $(\omega, s)$ de $\mathcal C$ tenemos una clase de Kähler en $X_s$ y por lo tanto una forma de volumen, y por lo tanto una métrica en $H^0(X_s, K_{X_s})$ . Obtenemos así una métrica hermitiana canónica en el pullback de $\mathcal R^0 \pi_* K_{\mathcal X/s}$ a $\mathcal C$ que es una especie de métrica relativa de Weil-Peterson.
Haciendo esto sobre el cono relativo complejizado, y combinando la métrica relativa de Weil-Peterson con la métrica de Kähler (en el sentido de las fibras) de antes, se obtiene una métrica hermitiana natural que de alguna manera combina los módulos de Kähler y complejos. Si no recuerdo mal, es una métrica de Kähler cuando las variedades subyacentes son Calabi-Yau (quizá incluso cuando sólo tienen una primera clase de Chern nula). Agitar las manos y gritar "simetría especular" debería implicar ahora que, si tal cosa existe, estaría bien que tuviera interpretaciones difeo-geométricas con respecto a esa métrica.
Trabajé en estas ideas en mi tesis doctoral. Fui capaz de construir las cosas que describí aquí, y tengo algunas notas no publicadas que hacen todo eso en cohomología en lugar de a través de métricas suaves, pero no fui capaz de cosechar realmente nada de esta línea de investigación antes de dejar la investigación. YMMV.
