Es un resultado clásico y útil que sobre un anillo unital conmutativo $A$ , un endomorfismo sobreyectivo de un módulo finito $M$ es un isomorfismo . La prueba estándar parece requerir la conmutatividad en el sentido de que uno necesita determinantes y la matriz adjunta . Así que imagino que hay contraejemplos sencillos sobre anillos no conmutativos, incluso sobre álgebras graduales conmutativas conectadas. ¿Cuáles son?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Creo que tu intuición es totalmente errónea en este caso: normalmente, los anillos conmutativos graduados se comportan básicamente igual que los anillos conmutativos (siempre que te restrinjas a módulos graduados, homomorfismos graduados, etc.). Así que deberías esperar que el resultado siga siendo válido para los anillos conmutativos graduados (de nuevo, asumiendo que tus módulos y homomorfismos son graduados), y de hecho lo es. Por ejemplo, la prueba en la respuesta de Martin Brandenburg en el post que enlazaste sigue funcionando; el único lugar en el que utiliza la conmutatividad es en el caso cíclico (para decir que $A/I$ es un anillo y la afirmación es verdadera cuando $M=A$ ), y estos argumentos siguen funcionando para anillos conmutativos graduados (cualquier ideal izquierdo graduado es bifronte y cualquier elemento homogéneo con un inverso unilateral es una unidad).
En cuanto a una fuente natural de ejemplos, basta con considerar cualquier anillo $A$ que tiene un elemento $a\in A$ que tiene un inverso izquierdo pero no un inverso derecho. Entonces la multiplicación por la derecha por $a$ es un homomorfismo de la izquierda $A$ -módulos $A\to A$ que es suryente pero no un isomorfismo.
