La paz sea contigo
En mi proyecto necesitaba encontrar el segundo momento de la resta de dos variables aleatorias con distribución Beta. Lo he calculado y he llegado a la siguiente integral que debo resolver analíticamente \begin{align*} \int_{-1}^{1} z^2 \int_{max(z-1,-1)}^{min(z,0)} (z-y)^{a-1} (1-z+y)^{b-1} (-y)^{c-1} (1+y)^{d-1} dy dz \end{align*} O igualmente \begin{align*} &\int_{-1}^{0} z^2 \int_{-1}^{z} A(x,y;a,b,c,d) ~ dy dz + \int_{0}^{1} z^2 \int_{z-1}^{0} A(x,y;a,b,c,d) ~ dy dz,\\ &A(x,y;a,b,c,d) = (z-y)^{a-1} (1-z+y)^{b-1} (-y)^{c-1} (1+y)^{d-1} \end{align*} He atacado a este problema mediante técnicas diversas; he intentado dividir y vencer; he utilizado la integración por partes; he intentado convertirlo en un sistema PDE y resolverlo... Pero parece un poco más complicado de lo que parece.
¿Alguna idea para arrancar este viejo árbol?
Nota: ¿cómo llegué a la integral?
debemos encontrar la función de densidad para $X-X_2$ . Sabemos que son VR con distribución Beta y la pdf de la distribución Beta es \begin{align*} f_{X}(x) = \frac{x^{a-1} (1-x)^{b-1}}{(a,b)}~,~~x\in[0,1] \end{align*} También podemos suponer que el $-X_2$ por otra Variable Aleatoria Y cuyo pdf es \begin{align*} f_Y (y)=\frac{(-y)^{c-1} (1+y)^{d-1}}{(c,d)}~,~~y\in[-1,0] \end{align*} Nombramos $X-X_2$ por otra variable aleatoria $Z$ y dado que estas RVs son independientes, la pdf de Z_(p,i,k) sería la convolución de las dos pdfs anteriores \begin{align*} f_Z (z)&=f_X (x) * f_Y (y)\\ &=\int_{-\infty}^{\infty} f_X (z-y) f_Y (y) dy\\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{(z-y)^{a-1} (1-z+y)^{b-1} (-y)^{c-1} (1+y)^{d-1}}{(a,b)(c,d)} dy \end{align*} En cuanto al dominio de las dos pdf(s) podemos escribir \begin{align*} f_Z (z)=\frac{1}{(a,b)(c,d)}\int_{max(z-1,-1)}^{min(z,0)}(z-y)^{a-1} (1-z+y)^{b-1} (-y)^{c-1} (1+y)^{d-1} dy \end{align*} Pero, necesitamos $\mu_2' (Z)$ que es \begin{align*} \frac{1}{(a,b)(c,d)}\int_{-1}^1 z^2 \int_{max(z-1,-1)}^{min(z,0)}(z-y)^{a-1} (1-z+y)^{b-1} (-y)^{c-1} (1+y)^{d-1} dy~dz \end{align*}
