Límite de una función racional a la potencia de x

Question

Vale, llevo días intentando encontrar una solución a esto por toda la web y en libros de matemáticas, pero sin éxito. El problema es evaluar un límite de una función compuesta por funciones polinómicas y una función exponencial:

$$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)^{2x}$$

Sé por un software que la solución es $\exp\left(\dfrac{8}{3}\right)$ pero no puedo llegar a esto.

Una cosa que hice para tratar de encontrar el límite fue:

$$\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)^{2x}=\lim_{x \to +\infty}\exp\left(\ln\left(\left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)^{2x}\right)\right)\\ =\lim_{x \to +\infty}\exp\left(2x\ln\left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)\right) =\exp{\left(\lim_{x \to +\infty}2x\times\lim_{x \to +\infty}\ln\left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)\right)}$$

Pero esto no funciona porque el límite de la derecha va a cero mientras que el de la izquierda va a infinito. También he probado otras cosas, pero el problema sólo se complica y la solución parece estar cada vez más lejos.

Answer 1

Escriba $$ \frac{3x+2}{3x-2}=\frac{3x-2+4}{3x-2}=1+\frac{4}{3x-2} $$ y luego hacer la sustitución $t=3x-2$ Así que $x=(t+2)/3$ y su límite se convierte en $$ \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^{2\frac{t+2}{3}}= \left(\lim_{t\to\infty} \left(1+\frac{4}{t}\right)^t\cdot \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{4}{t}\right)^2 \right)^{2/3} $$

Answer 2

Una pista: $$\lim_{x \to +\infty}\exp\left(2x\ln\left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)\right)=\exp\left(2\lim_{t \to 0}\dfrac{\ln\left(\dfrac{3+2t}{3-2t}\right)}{t}\right)$$

Answer 3

Para obtener un formulario más bonito, utilice $$ \left(\frac{3x+2}{3x-2}\right)^{2x} =\left(\frac{\left(1+\frac{2}{3x}\right)^x}{\left(1-\frac{2}{3x}\right)^x}\right)^2 $$ para obtener el límite exponencial dos veces en forma estándar.