¿Qué ocurre con la matriz de covarianza cuando los errores son independientes?

Question

Me preguntaba qué pasa con la matriz de covarianza de los errores, cuando asumo que todos los errores son estocásticamente independientes.

Es la matriz de covarianza todavía: $$\sigma^2I = \begin{bmatrix}\sigma^2 & ... & 0\\. & . &.\\ 0 & ... & \sigma^2\end{bmatrix}$$

¡¡¡Le agradezco mucho su respuesta!!!

Answer 1

¿Qué quieres decir con "todavía"? La matriz de covarianza es

$$ \boldsymbol{\Sigma}_u= \begin{bmatrix} E(u_1^2)&E(u_1u_2) & \cdots & E(u_1u_n)\\ E(u_1u_2)&E(u_2^2) & \cdots & E(u_2u_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ E(u_1u_n)&E(u_2u_n) & \cdots & E(u_n^2)\\ \end{bmatrix} $$ por lo que bajo los supuestos de que $$ E(u_i)=0 \, \forall \, i\\ E(u_iu_j)=0\, \forall \, i\neq j\\ E(u_i^2)=\sigma^2 \, \forall \, i $$ podemos ver que $$ \boldsymbol{\Sigma}_u= \begin{bmatrix} \sigma^2&0 & \cdots & 0\\ 0&\sigma^2& \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0&0 & \cdots & \sigma^2\\ \end{bmatrix} =\sigma^2 \boldsymbol{I}_n $$ como tú dices.