$B \equiv 1$ o $-1$ (mod n) donde $B$ es el producto de los elementos de $U_n$ .

Question

Cómo demostrar el producto de los elementos de $U_n$ , $B$ es congruente con $1$ o $-1$ .

$U_n$ es el conjunto de todos los números positivos menores y relativamente primos a $n$ .

Tenemos que demostrar $B \equiv 1$ (mod n) donde $B$ es el producto de los elementos de $U_n$ .

Mi intento: Podemos ver que la afirmación es cierta para $n = 1 , 2$ .

El número de elementos de $U_n$ será par para todo número natural $n> 3$ como $\phi(n)$ es un número par para todo número natural $n \geq 3$ . Así obtendremos el número impar de elementos de orden $2$ para cada grupo de orden $n(\geq 3)$ .

$B = b_1 b_2 ... b_k$ donde $b_i \in U_n$ y $b_i$ es de orden $2$ y $k$ es un número impar para todos los $n \geq 3$ .

Ahora queda demostrar que este producto es congruente con $1$ o $-1$ mod n.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Lema Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano elemental multiplicativo de orden $2^k$ , $k \in \mathbb{N}_{\gt 1}$ . Entonces $\underset{a \in A}\prod a=1$ .

Prueba Mira $A$ como $k$ -espacio vectorial sobre el campo de dos elementos $\mathbb{F}_2=\{0, 1\}$ . Escriba 0 para el vector cero y 1 para el vector $(1,1, \cdots, 1)$ ( $k$ -coordenadas). Con cada $v \in A$ asociamos el vector 1 $− v$ cuando sumando todos los vectores, es decir, todos los elementos de $A$ . Dado que hay $2^{k−1}$ tales pares, la suma es igual a $2^{k−1} \cdot $ 1 $\equiv$ 0 (mod $2$ ).

Corolario Dejemos que $A$ un grupo abeliano finito anotado multiplicativamente y sea $x=\underset{a \in A}\prod a$ . Entonces $x=1$ a menos que sea el subgrupo de todas las involuciones, $I=\{a \in A: a^2=1\} \cong C_2$ en cuyo caso $x$ es el único elemento de orden $2$ .
Prueba $\underset{a \in A}\prod a=\underset{a \in I}\prod a \cdot \underset{a \notin I}\prod a$ . Si $a \notin I$ entonces $a \neq a^{-1}$ Así que $\underset{a \notin I}\prod a=1$ Ahora aplique el lema a $I$ y la prueba está completa.

Nota El corolario se puede replantear de la siguiente manera: sea $A$ sea un grupo abeliano finito y $P \in Syl_2(A)$ , entonces el producto $x$ de todos los elementos de $A$ es $1$ si $P$ es trivial o no cíclico, y si $P$ es cíclico no trivial, $x$ es igual al único elemento de orden $2$ de $A$ .