Demuestra la existencia de dos números.

Question

$f$ es continua en $[0,n]$ (donde $n\in\mathbb{N}$ ) y $f(0)=f(n)$ .
Demostrar que hay
$$\exists a,b\in[0,n]$$ para que $b-a=1$ y $f(b)=f(a)$ .

Creo que esto está relacionado con el teorema de la cuerda universal, pero no lo he utilizado antes y, por tanto, no conozco la lógica que hay detrás. ¿Cómo debo demostrar las dos últimas ecuaciones?

Answer 1

Considere $g:[0,n-1]\to \mathbb R, x\mapsto f(x+1)-f(x)$ y supongamos, por si acaso, que $g$ nunca es $0$ . Desde $g$ es continua, podemos suponer WLOG que $g>0$ . Entonces $0<g(0)=f(1)-f(0)$ y $0<g(n-1)=f(n)-f(n-1)$ Por lo tanto $f(1)>f(0)$ y $f(0)>f(n-1)$ .

Pero $f(n-1)-f(1)=\sum_{k=1}^{n-2} (f(k+1)-f(k))>0$ Por lo tanto $f(n-1)>f(1)>f(0)$ una contradicción.

Answer 2

Si $n=1$ ya está hecho. De lo contrario, defina $$g(x)=f(x)-f(x+1).$$

Tenga en cuenta que $$\sum_{k=0}^{n-1} g(k) = f(0)-f(n)=0.$$

Por lo tanto, $g(k)=0$ para todos $0\le k\le n$ (y ya está) o existe $0\le k_1$ , $k_2\le n$ tal que $$g(k_1) <0<g(k_2).$$ El teorema del valor intermedio remata esto.

Espero que esto ayude.