Demuestre que un operador positivo en un espacio de Hilbert complejo es autoadjunto

Question

Dejemos que $(\mathcal{H}, (\cdot, \cdot))$ sea un espacio de Hilbert complejo, y $A : \mathcal{H} \to \mathcal{H}$ un operador positivo y acotado ( $A$ ser positivo significa $(Ax,x) \ge 0$ para todos $x \in \mathcal{H}$ ).

Demostrar que $A$ es autoadjunto. Es decir, demostrar que $(Ax,y) = (x, Ay)$ para todos $x,y \in \mathcal{H}$ .

Esto es lo que tengo hasta ahora. Porque $A$ es positivo tenemos $\mathbb{R} \ni (Ax,x) = \overline{(x,Ax)} = (x,Ax)$ , todos $x \in \mathcal{H}$ .

A continuación, he visto algunas pistas que me dicen que aplique la identidad de polarización:

$$(x,y) = \frac{1}{4}((\lVert x+y \rVert^2 + \lVert x-y \rVert^2) - i(\lVert x + iy \rVert^2 - \lVert x - iy \rVert^2)),$$

donde, por supuesto, la norma está definida por $\lVert \cdot \rVert^2 = (\cdot, \cdot)$ . Así que mi opinión es que tengo que empezar con las expresiones:

$$(Ax,y) = \frac{1}{4}((\lVert Ax+y \rVert^2 + \lVert Ax-y \rVert^2) - i(\lVert Ax + iy \rVert^2 - \lVert Ax - iy \rVert^2)),$$

$$(x,Ay) = \frac{1}{4}((\lVert x+Ay \rVert^2 + \lVert x-Ay \rVert^2) - i(\lVert x + iAy \rVert^2 - \lVert x - iAy \rVert^2)),$$

y demostrar de alguna manera que son iguales. Pero aquí es donde me he atascado.

Se agradecen mucho las pistas o soluciones.

Answer 1

Debe aplicar la identidad de polarización en la forma

$$4(Ax,y) = (A(x+y),x+y) - (A(x-y),x-y) -i(A(x+iy),x+iy) + i(A(x-iy),x-iy).$$

Como ya sabes $(Az,z) = (z,Az)$ para todos $z \in \mathcal{H}$ no es difícil deducir $A^\ast = A$ de eso.

Answer 2

Otra solución es ésta:

$T$ es autoadjunto si $\langle Tx,x\rangle \in \mathbb{R}$ por cada $x\in \mathcal{H}$ .

Dejemos que $x\in \mathcal{H}$ . Entonces $0=\langle Tx,x \rangle-\langle T^{*}x,x \rangle = \langle Tx,x \rangle-\overline{\langle Tx,x \rangle}=2i\operatorname{Im}\langle Tx,x\rangle \iff \langle Tx,x \rangle \in \mathbb{R}$ . Así, $T=T^{*} \iff \langle Tx,x\rangle \in \mathbb{R}$ por cada $x\in \mathcal{H}$ .

Porque $T$ es positivo tenemos que $\langle Tx,x \rangle \in \mathbb{R}$ .