Consideremos una función real $f(x)$ . ¿Puede la serie de funciones de $f(x)$ sea convergente donde $f(x)$ ¿no se define "naturalmente"? Más concretamente, ¿puede la serie converger cuando la función no está definida de forma natural y no es expandible de forma continua?
Por ejemplo
$$1+\frac{1-x}{x} \mathrm{log}(1-x)=\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n(n+1)}$$
Para $x=0$ y $x=1$ la función $f(x)=1+\frac{1}{1-x} \mathrm{log}(1-x)$ no está definido de forma natural, pero $\sum_{n \geq 0} \frac{x^n}{n(n+1)}$ converge para esos valores de $x$ .
Sin embargo, $$\mathrm{lim}_{x \to 0} f(x)=0=\sum_{n \geq 0} \frac{0^n}{n(n+1)}$$ Y
$$\mathrm{lim}_{x \to 1} f(x)=1=\sum_{n \geq 0} \frac{1^n}{n(n+1)}$$
Esto significa que la función es continua expandible en $x=0$ y $x=1$ .
Entonces, ¿puedo tener que una serie (de funciones) converge donde la función suma no está definida, sino que ni siquiera es expandible de forma continua?
