Dejemos que $H$ sea un subgrupo de $G$ . Es $\pi(H)$ entonces un subgrupo de $H$ ?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo, $H$ sea un subgrupo de $G$ y $N$ sea un subgrupo normal de $G$ .

Consideremos el mapa cociente (u "homomorfismo de proyección natural")

$$ \pi: G \to G/N $$ definido por $g \mapsto gN$ para todos $g \in G$ .

Sé que $\pi(H)$ es un subgrupo de $G/N$ pero de vez en cuando veo la afirmación de que $\pi(H)$ es en realidad un subgrupo de $H$ también. Sin embargo, parece que no puedo probar (o refutar) esto por mí mismo (o incluso encontrar una prueba en cualquier lugar), lo que me hace pensar que es trivialmente cierto o no es cierto (o, tal vez, muy difícil de probar).

Así que, básicamente, es $\pi(H)$ de hecho un subgrupo de $H$ ?

Answer 1

En general, utilizando su notación, es no Es cierto que $\pi(H)$ es un subgrupo de $G$ . Por ejemplo, considere $G=(\mathbb{Z}, +)$ los enteros bajo adición. Este es el grupo cíclico infinito, y todos sus subgrupos no triviales son también cíclicos infinitos. Sea $N=6\mathbb{Z}$ y $H=2\mathbb{Z}$ . Entonces $\pi(H)$ es cíclico de orden $3$ y, por lo tanto, en este caso $\pi(H)$ no puede sea un subgrupo de $G/H$ . Tenga en cuenta también que $G/N$ no es isomorfo a ningún subgrupo de $G$ .

Puede que quieras buscar productos semidirectos . Un grupo $G$ es un producto semidirecto $N\rtimes K$ si $G/N$ "es un subgrupo" de $G$ en un sentido muy específico.