¿Elegir las constantes a y b para que la función sea diferenciable para todo x?

Question

Mi pensamiento es que las dos funciones deben tener el mismo conjunto de soluciones? Porque esto es cierto:

Eso no me llevó a ninguna parte, ¿por dónde debería empezar? ¿Una pista, por favor?

Answer 1

Una pista: $g(1+0)=g(1-0)$ y $g'(1+0)=g'(1-0)$ .

Answer 2

En particular, debe elegir $a,b$ tal que $$g'(1):=\lim_{x\to 1}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}$$ existe, lo que significa que necesitamos para $$\lim_{x\to 1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1},$$ por lo que necesitamos $$\lim_{x\to 1^-}\frac{(x^2-bx)-(1-b)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{(ax^2+1)-(1-b)}{x-1},$$ o más bien, desde $(x-1)(x+1-b)=(x^2-bx)-(1-b),$ necesitamos $$2-b=\lim_{x\to 1^+}\frac{ax^2+b}{x-1}.\tag{$ \N - La estrella $}$$

Tenga en cuenta que $$\frac{ax^2+b}{x-1}=\frac{a(x^2-1)+a+b}{x-1}=a(x+1)+\frac{a+b}{x-1},$$ por lo que para que el límite en el lado derecho de $(\star)$ para existir, debemos tener $a=-b$ De ahí que $(\star)$ produce $2-b=-2b$ Así que $b=-2$ y $a=2$ .

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Si en cambio está familiarizado con la definición $$g'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{g(1+h)-g(1)}{h},$$ entonces necesitamos $$\lim_{h\to 0^-}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{g(1+h)-g(1)}{h}\\\lim_{h\to 0^-}\frac{(1+h)^2-b(1+h)-(1-b)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{a(1+h)^2+1-(1-b)}{h}\\\lim_{h\to 0^-}\frac{2h+h^2-bh}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{a+b+2ah+ah^2}{h}\\\lim_{h\to 0^-}(2-b+h)=\lim_{h\to 0^+}\left(2a+ah+\frac{a+b}h\right)\\2-b=2a+\lim_{h\to 0^+}\frac{a+b}h.$$ Una vez más, necesitamos $a=-b,$ de las que se desprenden las conclusiones anteriores.

Answer 3

Tal vez también podríamos plantear el problema en términos sencillos... Las dos relaciones de la función a trozos son polinomios y, por lo tanto, diferenciables en todas partes... el único problema podría estar en la restricción del dominio - hay que asegurarse de que las funciones se tocan y no hay ningún pliegue allí... por lo que para el valor de la función, establece las dos relaciones iguales y para el valor de la derivada, establece la derivada de cada relación igual. Evalúa en la restricción del dominio y resuelve este sistema de ecuaciones algo sencillo.