raíz cúbica de números negativos

Question

Disculpa mi falta de conocimiento y experiencia en matemáticas, pero me le vino naturalmente que la raíz cúbica de $-8$ sea desde $-2$ $(-2)^3 = -8$.

Pero cuando revisé Wolfram Alpha para $\sqrt[3]{-8}$, real, me dice no existe.

Llegué a confiar en Wolfram Alpha así que pensé que les pido chicos, para que me expliquen el sentido.

Answer 1

-8 tiene tres raíces cúbicas: $-2$ , $1 + i \sqrt{ 3 }$ y $1 - i \sqrt{ 3 }$ . Así que no se puede responder a la pregunta "¿Es $\sqrt[3]{-8}$ real" sin especificar de cuál de ellos está hablando.

Por alguna razón, WolframAlpha sólo da $1 + i \sqrt{ 3 }$ como respuesta eso me parece un error de WolframAlpha.

Answer 2

Aunque han pasado dos años desde que se hizo esta pregunta, a algunos les interesará saber que este comportamiento se ha modificado en WolframAlpha. Si se pide la raíz cúbica de un número negativo, se devuelve la raíz cúbica negativa de valor real. En este caso, acabo de pedir "cbrt -8", por ejemplo:

Observe el botón "la raíz principal". Eso le permite volver al comportamiento original. Cerca de la parte inferior, seguimos viendo información sobre todas las raíces complejas.

Podemos graficar funciones que involucran la raíz cúbica y resolver ecuaciones que involucran la raíz cúbica y actúa consistentemente de valor real. Si escribes una ecuación, la resolverá, trazará ambos lados y resaltará las intersecciones. Aquí está "cbrt(x)=sin(2x)"

Answer 3

Ver este . En particular, la raíz cúbica prinicipal tiene parte imaginaria no nula.

Answer 4

Por supuesto, tienes toda la razón sobre $-2$ ser a raíz cúbica de $-8$ .

La cuestión podría ser que en realidad los hay, tres diferentes raíces cúbicas de $-8$ , es decir, las raíces del polinomio $x^3+8$ . Una de estas raíces es real ( $-2$ ), los otros dos son complejos y conjugados entre sí.

Si usted pregunte a Wolfram para la raíz cúbica de $-8$ se obtiene una de estas dos raíces no reales, a saber $1+(1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055...)i$ .

Deduzco que Wolfram está instado a elegir una de las raíces por algún criterio que en este caso lleva a la exclusión de la raíz real. Tal vez la navegación por el sitio de Wolfram pueda ayudar a entender cuáles son estos criterios. (Mi opinión es que se obtiene la raíz $\alpha=re^{i\theta}$ con más pequeños $\theta$ en el rango $[0,2\pi)$ .)

Answer 5

Cuando los no-computadores calculan la raíz cúbica de (-8), podemos pensar en ello como $(-1*8)^{1/3}$ Entonces tenemos $-1*8^{1/3} = -1*2 = -2$

Wolfram está utilizando la forma compleja polar de -8 = 8cis(π) Entonces la raíz cúbica de esto es 2cis(π/3), que es 1 + i√3 (una forma alternativa en Wolfram)

Por cierto, si tomas $(1 + i\sqrt3)^3$ ¡obtendrás -8!