¿Cómo calcular la longitud de una recta que es perpendicular a otra conociendo tres coordenadas?

Question

Estoy seguro de que esto es algo completamente tonto, pero mis matemáticas son, bueno, horribles, así que sé amable...

Conozco tres coordenadas (cosas 2D estándar de x e y donde la parte superior izquierda es 0,0 y la x aumenta de izquierda a derecha y la y aumenta de arriba a abajo) y puedo trazar una línea entre dos de ellas y luego hacer un tercer punto donde la intersección con la línea debe ser de 90 grados y lo que quiero calcular es la longitud de la línea que hizo este ángulo (estoy seguro de que si pudiera explicarme bien ya habría encontrado una respuesta a esto).

Aquí hay una imagen de lo que quiero decir (con algunos valores de ejemplo para las tres coordenadas A, B y C que conozco):

Entonces, ¿cómo puedo calcular la longitud marcada L en lo anterior?

Pensé, bueno, la línea L es normal al vector A a B así que podría decir...

El vector de A a B es (4, 7) y, por tanto, los vectores normales serían (-7, 4) y (7, -4), pero entonces estoy atascado: ¿dónde voy ahora? ¿Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Esta es la forma más fácil que se me ocurre:

• Encuentre el vector normal para $AB$ .

• Tomar el producto punto del vector normal y $A$ .

• Tomar el producto punto del vector normal y $C$ .

• Resta los dos productos de puntos.

• Dividir por la longitud del vector normal.

El resultado es la longitud de $L$ .

Según su ejemplo:

• $N = B-A = (7, -4)$ .

• $a = N \cdot A = (1 \cdot 7) + (1 \cdot -4) = 7 - 4 = 3$ .

• $c = N \cdot C = (7 \cdot 7) + (-4 \cdot 5) = 49 - 20 = 29$ .

• $c - a = 29 - 3 = 26$ .

• $|N| = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65} \approx 8.062$ .

• $26 \div 8.062 \approx 3.225$ .

Así que $L$ es de unas 3,225 unidades de longitud.

Answer 2

Lo que quiere un distancia entre puntos en 2D .

Calculemos la fórmula de $AB$ :

$$ y-y_A = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} (x-x_A) $$

Enchufar y simplificar:

$$ 7x -4y -3 = 0 $$

Ahora vamos a utilizar la fórmula de la distancia entre puntos:

\begin{align*} d &= \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ &= \frac{|7\times7+(-4)\times5+(-3)|}{\sqrt{7^2+(-4)^2}} \\ &= \frac{26}{\sqrt{65}} \approx 3.224 \end{align*}