Giros de 180˚ frente a giros de 360˚ en los diagramas de cadenas para las categorías de cintas

Question

Las categorías de cinta son categorías monoidales trenzadas con un giro o el equilibrio, $\theta_B:B\to B$ que es una transformación natural del functor de identidad a sí mismo. En el cálculo del diagrama de cuerdas para las categorías de cintas, la cinta se representa como un giro de 360 en una cinta ( op. cit. ). (Véase, por ejemplo, Street's Grupos Cuánticos o el de Kassel Grupos Cuánticos para más detalles).

Mis preguntas son:

• ¿Hay algún trabajo que describa lo que ocurre si consideramos un giro de 180º?

• Si no es así, ¿qué pasa si tomamos este medio giro una de las operaciones de interés en las cintas?

• ¿Cómo se axiomatizan las cintas con un giro de 180? ¿Y si los bucles son posibles y tenemos marañas retorcidas? (Creo que Categorías Monoidales Trazadas de Verity, Street y Joyal no cubre este caso).

Answer 1

El resultado de completitud, que conjeturé en "Categorías autónomas en las que A es isomorfo a A*" (citado por Dave más arriba), se ha demostrado el mes pasado. Hablé de esto en QPL 2010 en mayo, pero todavía no está escrito. En realidad es relativamente fácil de demostrar, aunque me llevó más de un mes darme cuenta de que es así. Esencialmente es una reducción del resultado conocido para las categorías de cinta. La ausencia de tiras de Moebius es una de las cosas que lo hace posible.

Lo que hay que demostrar es: dados dos términos (en el lenguaje de medio giro) que tienen el mismo diagrama, entonces se puede demostrar que los términos son iguales por los axiomas.

En pocas palabras: en primer lugar, basta con mostrar esto para los términos que utilizan el mapa de medio giro sólo en los generadores de objetos (los medios giros en el tensor A B, en I y en A* se pueden reducir inmediatamente utilizando los axiomas). Ahora, dados dos términos t y s que tienen el mismo diagrama, hay dos posibilidades:

(1) cada cinta del diagrama tiene un número par de medias vueltas en ella. En este caso, se pueden mover todas al lado de la otra y sustituirlas por torsiones completas, utilizando los axiomas. Entonces se puede utilizar simplemente la coherencia de las categorías de cintas para demostrar que s y t son probadamente iguales.

(2) alguna cinta del diagrama tiene un número impar de medias vueltas en ella. Dado que no hay tiras de Moebius, esto sólo puede ocurrir si la cinta tiene dos extremos, cada uno de los cuales está conectado a una caja o a una fuente/sumidero del diagrama. Supongamos que un lado de la cinta está conectado a una salida de la caja f del diagrama. Usando el truco anterior, podemos usar los axiomas para reemplazar todas las medias torsiones menos una por torsiones completas, y para mover la media torsión restante adyacente a la caja f. El punto clave es que esto sucede en ambos términos s y t. En ambos s y t, ahora reemplaza esta ocurrencia particular de la media torsión por una nueva variable H:A->A*. Obsérvese que gráficamente ya no se trata de una media torsión, sino simplemente de una nueva caja. Llamemos a los términos modificados s' y t'. Como tanto s' como t' tienen la H en el mismo lugar, s' y t' siguen teniendo diagramas isomórficos. Pero tienen una cinta menos con un número impar de giros, por lo que el resultado se sigue por inducción.

Esta prueba es molesta y simple, pero es correcta.

Answer 2

Como señala Scott, Peter Tingley y yo escribimos un papel sobre esta cuestión. En aras de la concreción (y porque incluía nuestro ejemplo principal) sólo tratamos el caso de las álgebras de Hopf cuya teoría de la representación tiene un medio giro de cinta, pero toda la teoría se traslada a las categorías monoidales generales. A continuación esbozaré esta generalización, pero probablemente deberías leer primero mi artículo con Peter, que es más accesible. El principal resultado que utilizamos son las fórmulas para el trenzado dadas (independientemente) por Kirillov-Reshetikhin y Levendorskii-Soibleman, que pueden interpretarse como una fórmula dada para la media torsión. Ciertamente Reshetikhin (y presumiblemente algunos de los otros autores) eran conscientes de que estas fórmulas podían interpretarse en términos de medias torsiones, pero no apareció explícitamente hasta Peter y mi artículo.

Una advertencia importante que se aplica a todo, sin embargo, en esta teoría el anverso y el reverso de la cinta se corresponden con a priori diferentes objetos así que todavía no puedes hablar de las bandas de Mobius.

Recordemos que un funtor monoidal (a menudo se denominan "funtores monoidales débiles" en la literatura de grupos cuánticos para distinguirlos de los funtores monoidales estrictos, mientras que se denominan "funtores monoidales fuertes" en la literatura de teoría de categorías para distinguirlos de los "funtores monoidales laxos") es un par un funtor F: C->D junto con un isomorfismo binatural $F(X\otimes Y) \rightarrow F(X) \otimes F(Y)$ que juega bien con el asociador.

Definamos un conmutador como un funtor monoidal de C a C' (que denotará C con el producto tensorial opuesto) cuyo funtor subyacente es la identidad. La transformación natural es, pues, un mapa $X \otimes Y \rightarrow Y \otimes X$ . La condición de consistencia dice que hay un mapa bien definido $X \otimes Y \otimes Z \rightarrow Z \otimes Y \otimes X$ . Esta definición de un conmutador es la generalización común de los trenzados (que además satisfacen la ecuación de Yang-Baxter) y los conmutadores de cactus (que además cuadran a 1). Es una condición natural que satisfacen todas las "restricciones de conmutatividad" interesantes conocidas.

Hay una forma común de producir conmutadores que aparece en un documento de Kamnitzer y Henriques (que es un papel muy bonito) que está estrechamente relacionado con las medias tintas.

En primer lugar, definamos un "functor del lado oscuro" como cualquier functor monoidal de C a C'. El nombre viene del hecho de que este functor es el que nos permite hablar del "lado oscuro" de la cinta. Si F es un funtor del lado oscuro, entonces una media torsión para F es una transformación natural entre F y el funtor identidad de C a C'.

Ciertamente se puede utilizar una media torsión para un funtor del lado oscuro para producir un conmutador, ¡sólo hay que componer la transformación natural con el funtor del lado oscuro para obtener un conmutador! Si se estudia lo que significa esta explicación tautológica, se verá que se obtiene el conmutador aplicando primero la media torsión a cada objeto por separado, y luego la inversa de la media torsión al producto tensorial (o quizá a la inversa).

Una media torsión de cinta no es más que una media torsión para un functor del lado oscuro cuyo conmutador resultante es un trenzado.

Answer 3

Me encontré con Categorías autónomas en las que $A \cong A^∗$ por Peter Selinger. Afirma que la representación gráfica de la autodualidad $h_A:A\to A^*$ se representa con una media vuelta de cinta. Se conjetura un resultado de coherencia, pero no se demuestra (por supuesto).

Answer 4

Me sorprende que nadie haya mencionado a Jeff Eggers " Sobre las categorías monoidales involutivas ", que generaliza el trabajo de Peter Selingers, supongo. Es un artículo excelente, y conecta con otros casos especiales.

La idea es la siguiente: Una categoría monoidal involutiva estricta es una categoría monoidal $\mathcal{C}$ con un functor de involución covariante (!) $\overline{(\;)} : \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ . Tiene que satisfacer $\overline{\overline{X}} = X$ y $\overline{X \otimes Y} = \overline{Y} \otimes \overline{X}$ . (En realidad se puede considerar la versión no estricta, pero existe un teorema de coherencia). Estas categorías tienen la estructura adecuada para definir lo que es un $*$ -álgebra es. Básicamente, una involución (como la $*$ -estructura) de un objeto $X$ es un morfismo $X \to \overline{X}$ . Por ejemplo, los mapas antilineales surgen de esa manera. Pero hay que tener en cuenta que $\overline{X}$ no suele ser el dual de $X$ ni necesita ser isomorfo a $X$ o su doble. Pero el ejemplo de Selinger es un caso especial de este marco, al parecer, al igual que las categorías pivotales de Daga.

Ahora viene el (medio) giro. Es una transformación natural $\zeta: \overline{(\;)} \implies 1_\mathcal{C}$ que satisface algunas condiciones sencillas. El remate: Como los trabajos de Noah Snyder y Peter Tingley hacen creer, ese medio giro dará lugar a una categoría de cinta. El giro viene dado por $\zeta\overline{\zeta}$ el trenzado es $(\zeta \otimes \zeta)\zeta^{-1}$ . Egger también explica el cálculo gráfico, todo tiene sentido.

Las categorías monoidales involutivas son, hasta la notación, las mismas que las de Majid y Begg Categorías de bares .