¿Los términos de esta secuencia tendrán siempre la raíz digital 1?

Question

Un problema matemático recreativo, apodado "Insertar y sumar", pregunta: ¿Cuál es el menor número entero m que requiere no menos de n inserciones de signos más para que, después de realizar la(s) suma(s), lleguemos a un solo dígito? (Vea la última página aquí: http://orion.math.iastate.edu/butler/papers/16_03_insert_and_add.pdf )

Es similar a encontrar la persistencia aditiva de n, pero en lugar de limitarse a contar el número de sumas digitales necesarias para llegar a un solo dígito, cuenta el número mínimo de signos más insertados durante ese proceso.

10 es el número más pequeño que requiere un signo más: 1+0=1. 19 es el más pequeño que requiere dos: 1+9=10 -> 1+0=1. 118 es el más pequeño para requerir tres: 1+1+8=10 -> 1+0=1; alternativamente podemos probar 1+18=19 -> 1+9=10 -> 1+0=1; y finalmente podemos probar 11+8=19 -> 1+9=10 -> 1+0=1.

3187 y 3014173 son los dos números siguientes de la secuencia.

Ahora observa que todos estos números (10, 19, 118, 3187, 3014173) tienen una raíz digital de 1.

¿Es obvio que todos los términos futuros de esta secuencia tendrán la raíz digital 1?

La secuencia es https://oeis.org/A293929 .

Answer 1

Soy terrible con las pruebas, así que no me sorprenderá cuando alguien señale un agujero evidente en esto, pero ¿qué hay de:

Supongamos que los términos $a(1)$ a $a(n)$ todos tienen raíz digital $1$ pero $a(n + 1) = x$ no lo hace. Incremento $a(n)$ por uno hasta llegar a $x$ .

Inserte un signo más en $x$ de la manera óptima que garantice el resultado de la suma, $y$ requiere exactamente $n$ más inserciones de un signo más para llegar a un solo dígito.

Porque $y$ requiere $n$ inserciones no puede ser inferior a $a(n)$ De lo contrario, habríamos encontrado $y$ antes de $a(n)$ . Porque $x$ tiene una raíz digital mayor que $1$ , $y$ no puede ser igual $a(n)$ . Así que ahora $y$ debe estar en el rango $a(n) < y < x$ pero ya los hemos comprobado antes de llegar a $x$ , por lo que no hay tal número $y$ puede existir, por lo tanto no hay tal $x$ puede existir. Claramente, $a(n + 1)$ no puede tener raíz digital $0$ .

Hemos demostrado que ningún $a(n + 1) = x$ con raíz digital $0$ o $2$ a través de $9$ puede existir, por lo tanto $a(n + 1)$ debe tener raíz digital $1$ .