Supongamos que $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ sea una función lineal que pueda ser representada por un $n \times n$ matriz. Entonces el jacobiano de $f$ es la misma que la función para $f$ . Pero ahora quiero normalizar el primer componente del vector de salida para que sea $1$ . lo que significa que para la matriz de $f$ En este caso, tengo que dividir cada fila por el valor del primer componente de la salida. La jacobiana esta vez se vuelve mucho más complicada. Como estoy calculando el $L_1$ norma matricial para la jacobiana, ¿hay alguna manera de que mi nueva jacobiana sea lo más sencilla posible?
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Para simplificar el cálculo, utilice la regla de la cadena: la matriz jacobiana de composición es el producto de matrices jacobianas. Más concretamente, $D(h\circ f) = (D(h)\circ f ) D(f)$ . El mapa que describes es la composición del mapa lineal original (jacobiano constante) y el mapa $$h(y_1,\dots,y_n) = (1,y^{-1}y_2,\dots, y^{-1}y_n) ^T$$ para el que el jacobiano es fácil de escribir: $$Dh(y_1,\dots,y_n) = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & \dots & 0 \\ -y_1^{-2}y_2 & y_1^{-1} & 0 & \dots & 0 \\ -y_1^{-2}y_3 & 0 & y_1^{-1} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots &\dots & \dots \end{pmatrix}$$ Luego se conecta $f$ , multiplicar a la derecha por la matriz constante $Df$ y tratar de calcular la norma... No prometo que esto sea fácil, pero en eso consisten esos cálculos.
