Varianza Combinaciones de tomates

Question

Ponemos $n$ tomates rojos y $n$ tomates verdes en $n$ cestas al azar, de modo que cada cesta contenga dos tomates. Dejemos que $X$ sea el número de cestas que contienen un tomate rojo y otro verde. Encontrar $\text{var}(X)$ . Supongamos que $n \geq 10.$

Para $k=1,2...,n$ introducimos variables aleatorias

$$X_k= \begin{cases} 1 \quad \text{ if the $k^{th}$ basket contains one red and one green tomato}\\ 0 \quad \text{otherwise} \end{cases} $$ Dado que cada tomate tiene la misma probabilidad de acabar en cualquiera de los $n$ cestas hay $2n \choose 2 $ formas de seleccionar un par de tomates para el $k^{th}$ cesta. De los cuales hay $ n \choose 1 $$ n \ ~ elegir 1$ formas de elegir un tomate rojo y verde ( $n^2$ formas). En consecuencia,

$$ P(X_k=1)=\frac{n^2}{2n \choose 2}=\frac{n}{2n-1} $$ $$E[X]=\frac{n^2}{2n-1} $$

Pero cómo encontrar $E[X^2]$ ?

Gracias

Answer 1

Estamos utilizando variables aleatorias indicadoras.

Dejemos que $X_i$ sea el indicador de que la caja $i$ contiene tomates de diferentes colores. A continuación, $X=\sum_{i=1}^n X_i$ .

Para cualquier caja $i$ la probabilidad de que $X_i=1$ es $\binom n1^2/\binom{2n}2$ o $n/(2n-1)$ .   Esto es $\mathsf E(X_i)$ .

Ahora bien, como usted había : $$\begin{align}\mathsf E(X)&=\mathsf E(\sum_i X_i) \\ &= n~\mathsf E(X_1)\\ &= n^2/(2n-1)\end{align}$$

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Del mismo modo, para cualquier caja $i$ la probabilidad de que $X_i=1$ también es $\mathsf E(X_i^2)$ ya que la variable indicadora es $0$ o $1$ .   $\mathsf E(X_i^2)=1^2\mathsf P(X_i=1)+0^2\mathsf P(X_i=0)$

A continuación, para dos cajas distintas cualesquiera $i,j$ la probabilidad de que $X_i=1$ y $X_j=1$ es algo .   Esto es $\mathsf E(X_iX_j)$ .

Así que encontramos

$$\begin{align}\mathsf E(X^2)&=\mathsf E((\sum_{i=1}^n X_i)(\sum_{j=1}^n X_j)) \\ &= \sum_{i=1}^n \mathsf E(X_i^2)+2\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=1}^{i-1}\mathsf E(X_iX_j) \\ &= n^2/(2n-1) + n(n-1)\mathsf E(X_1X_2) \end{align}$$

Ahora, ¿cuál es la probabilidad de que dos cajas concretas contengan cada una tomates de distinto color? Volvamos a ti.

Cuente las formas de seleccionar dos de $n$ tomates rojos, dos de $n$ tomates verdes, y los colocan en dos cajas de dos tomates de distinto color. Cuenta las formas de seleccionar cuatro de $2n$ tomates y disponerlos en dos cajas de dos tomates. Divide y calcula.