Para que quede claro, parece que con un "caso" te refieres a un conjunto consistente de datos sobre qué intersecciones y conjuntos-diferencias entre los conjuntos están vacíos o no. Ahora bien, hay una forma sencilla de describir todas esas intersecciones y diferencias de conjuntos. Si sus conjuntos son $A_1,\dots,A_n$ entonces para cualquier subconjunto $S\subseteq\{1,\dots,n\}$ , dejemos que $B_S=\bigcap_{i\in S} A_i\cap \bigcap_{j\not\in S} A_j^c$ . Es decir, $B_S$ consiste en todos los puntos que están en cada $A_i$ para $i\in S$ pero no en $A_j$ para cada $j\in S$ . Tenga en cuenta que cada punto $x$ está exactamente en uno de esos conjuntos $B_S$ (ya que $S$ debe ser el conjunto de todos los $i$ tal que $x\in A_i$ ). Así, cualquier conjunto formado por intersecciones y diferencias de conjuntos de los $A_i$ es la unión de los conjuntos de la forma $B_S$ que contiene.
Esto significa que un "caso" sólo está determinado por cuál de estos conjuntos $B_S$ son no vacíos. Hay $2^n$ diferentes subconjuntos $S\subseteq\{1,\dots,n\}$ , por lo que hay $2^{2^n}$ diferentes maneras de determinar qué conjuntos $B_S$ son no vacíos.
Pero, ¡espera! En el caso $n=2$ que daría $2^{2^2}=16$ casos, no sólo el $5$ que has encontrado. ¿Qué ocurre? Hay un par de cosas. En primer lugar, tenga en cuenta que cuando $S=\emptyset$ , $B_S$ es simplemente el complemento de la unión de todas las $A_i$ . Usted ignora este complemento: a sus casos no les importa que haya algo fuera de todo el $A_i$ o no. Por lo tanto, no nos importa $B_\emptyset$ reduciendo el número de casos a la mitad. $2^{2^n-1}$ .
El segundo problema es su restricción de que todos los conjuntos deben ser no vacíos. Eso significa que tenemos que restar los casos en los que alguno de los conjuntos esté vacío. Podemos hacerlo utilizando la inclusión-exclusión. Observa, por ejemplo, que hay $2^{2^{n-1}-1}$ casos en los que $A_1$ está vacía, ya que esto equivale a elegir simplemente un caso para los conjuntos $A_2,\dots,A_n$ . En términos más generales, si elegimos $k$ de los conjuntos para que estén vacíos, hay $2^{2^{n-k}-1}$ casos. Así que contando el número de casos en los que ninguno de los $A_i$ son vacíos por inclusión-exclusión, obtenemos $$\sum_{k=0}^n (-1)^k\binom{n}{k}2^{2^{n-k}-1}$$ (aquí el $k$ corresponde a la recogida de $k$ de los conjuntos para que estén vacíos, con $\binom{n}{k}$ que vienen de las diferentes formas de elegir el $k$ conjuntos).
Por ejemplo, cuando $n=2$ esta suma es $$8-2\cdot 2+1=5,$$ tal y como lo has encontrado. Aquí $8$ es contar todos los casos en los que se permite que los conjuntos estén vacíos. A continuación, restamos $2\cdot 2$ para los casos en que $A$ está vacío o $B$ está vacío (si $A$ está vacío, hay dos casos: o bien $B$ está vacía o no; igualmente hay dos casos si $B$ está vacío). Por último, volvemos a añadir $1$ ya que restamos el caso en que ambos $A$ y $B$ están vacíos dos veces.
