Este conjunto, que voy a denotar $S$, no está conectado, no importa cómo se defina (siempre que la cerrada de los arcos son disjuntos a pares), aquí es una prueba.
Formar una relación de equivalencia $\sim$ $R^2$ con clases de equivalencia de ser la cerrada de los arcos que dibujó y los únicos que no están contenidas en dichos arcos.
A continuación, tome $X=R^2/\sim$ con el cociente de la topología, $q: R^2\to X$ es el cociente mapa. Ya que cada clase de equivalencia es un subconjunto cerrado de $R^2$, el espacio de $X$$T_1$. Entonces es fácil comprobar que la descomposición de la $R^2$ nos define es "superior semicontinuo". Esto implica que el espacio cociente es normal (ya $R^2$ es normal). Consulte la página 8-10 en Daverman del libro de las definiciones y de las pruebas. Por cierto, nuestro espacio de $X$ es homeomórficos a $R^2$, este es un caso especial de Moore del teorema. No vamos a necesitar esto, sin embargo.
Deje $T=q(S)\subset X$ el valor de la proyección de $S$. A continuación, $T$ es contable y el infinito (esto es que yo uso el hecho de que todos cerraron los arcos son disjuntos a pares). Desde $X$$T_4$, se pueden separar dos puntos cualesquiera $t_1, t_2\in T$ por una función continua $f: X\to {\mathbb R}$: $f(t_1)\ne f(t_2)$. Desde $f(T)$ es contable, podemos encontrar un punto de $r\in {\mathbb R}$$f(t_1), f(t_2)$, que no es en $f(T)$. Entonces $U_1=(fq)^{-1}((-\infty, r))$, $U_2=(fq)^{-1}((r, \infty))$ son distintos subconjuntos abiertos de $R^2$ separación de $q^{-1}(t_1), q^{-1}(t_2)$. Los conjuntos de $U_1\cap S, U_2\cap S$ son disjuntos y su unión es la totalidad de la $S$. Por lo tanto,
nos demostró que cualquiera de los dos puntos en $S$ que no están en el mismo arco, pertenecen a distintos componentes conectados de $S$. En particular, $S$ se desconecta y conecta los componentes son los arcos circulares.
