Encuentre el valor mínimo de $t^3+t^2-2t-2$ dado que $t$ es mayor o igual a 2

Question

La pregunta original era encontrar el rango de la función f definida por: $$f(x)=\frac {(1+x+x^2)(1+x^4)}{x^3}$$ para $x>0$

Evidentemente, diferenciar no es muy útil. Así que escribí $f(x)$ como: $$f(x)=t^3+t^2-2t-2=(t^2-2)(t+1)$$ Dónde $t=x+\frac 1x$

El valor máximo se acerca claramente a $+\infty$ .

¿Cómo puedo encontrar el valor mínimo, donde $t >=2$ ? En este caso, también diferenciar no ayudaría, a menos que quiera trazar un gráfico, lo que de nuevo sería algo engorroso.

Answer 1

Lo siguiente es su solución y es muy agradable. Tenga en cuenta que nuestra función es igual a $$\frac{1+x+x^2}{x}\cdot \frac{1+x^4}{x^2},$$ que es $$\left(x+1+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right).$$ Realice la sustitución $x+\frac{1}{x}=t$ . Nuestra función es igual a $$(t+1)(t^2-2).\tag{1}$$ Desde $t\ge 2$ la función (1) es creciente, por lo que tiene un valor mínimo de $6$ en $x=1$ .

Answer 2

Yo diría que

$\left(\frac{(1+x+x^2)(1+x^4)}{x^3}\right)' = \frac{3 x^6+2 x^5+x^4-x^2-2 x-3}{x^4}$

La ecuación $3 x^6+2 x^5+x^4-x^2-2 x-3=0$ es una ecuación recíproca negativa de grado impar, obviamente tiene raíces

$x=1, x=-1 \Rightarrow 3 x^6+2 x^5+x^4-x^2-2 x-3 = (x-1)(x+1)(3 x^4+2 x^3+4 x^2+2 x+3) = 0$

La ecuación $3 x^4+2 x^3+4 x^2+2 x+3=0$ es una ecuación positivamente recíproca, solución

después de ajustar la división de la forma $x^2$ , sustitución $t = x + \frac{1}{x} \Rightarrow$ ecuación cuadrática, ésta no tiene raíces reales.

Por lo tanto, puede ser extremo en los puntos x = -1 o x = 1.

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.

Answer 3

Ampliar $f(x)$ y romper la fracción, $$f(x)=\frac{(1+x+x^2)(1+x^4)}{x^3}=\frac{1+x+x^2+x^4+x^5+x^6}{x^3}=\frac 1{x^3}+\frac 1{x^2}+\frac 1x+x+x^2+x^3.$$

¿Puede diferenciar $f(x)$ ¿Ahora? Sólo se requiere la regla de la potencia para la última expresión.