Teorema de la función inversa e inversiones globales

Question

Aprendimos el Teorema de la Función Inversa para funciones multivariables, y sólo trataba de las inversas "locales", no de las inversas "globales". ¿Es mi interpretación de una inversa global simplemente que existe una inversa alrededor de TODOS los puntos del dominio?

Aquí está la pregunta relacionada.

Definir $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ por $$ f(x,y) = \begin{pmatrix} e^x\cos y \\ e^x\sin y \end{pmatrix}. $$ Demuestra que $f$ tiene un local $C^1$ inversa en cada punto de $\mathbb{R}^2$ pero no tiene ningún inverso global en $\mathbb{R}^2$ .

Lo que hice fue básicamente encontrar la matriz jacobiana de $f$ y demostró que su determinante es cero si $x$ se acerca al infinito. Así que para cada $(x,y)$ con $x$ finito, entonces el jacobiano de $f$ es invertible y, por tanto, existe una $C^1$ inversa. Pero con grandes $x$ no hay inversa, ¿entonces no hay inversa global?

Answer 1

Antes de empezar, repasemos algunas definiciones:

Definición. Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ y que $f\colon U\rightarrow V\subseteq\mathbb{R}^n$ ser un $C^1$ -mapping, entonces $f$ es un $C^1$ -o globalmente invertible si y sólo si existe $g\colon V\rightarrow U$ a $C^1$ -mapping tal que: $$f\circ g=\textrm{id}_{V}\textrm{ and }g\circ f=\textrm{id}_U.$$

En otras palabras, $f$ es una biyección cuya inversa es suave. Esto no debe confundirse con:

Definición. La cartografía $f$ se dice que es un difeomorfismo local o localmente invertible si y sólo si cuando se restringe a un subconjunto abierto de $U$ , $f$ es un difeomorfismo sobre su imagen.

Nótese que ser globalmente invertible no significa ser localmente invertible alrededor de cualquier punto.

A modo de recordatorio, expongamos el función inversa teorema una vez más:

Teorema. Dejemos que $U$ sea un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ , dejemos que $x$ sea un punto de $U$ y que $f\colon U\rightarrow\mathbb{R}^n$ ser un $C^1$ -Mapeo. Supongamos que $\mathrm{d}_xf\colon\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n$ es un mapa lineal invertible, entonces existe $V$ un barrio abierto de $x$ tal que $f\colon V\rightarrow f(V)$ es un $C^1$ -difeomorfismo.

En nuestro caso, para todos los $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ la matriz de $\mathrm{d}_{(x,y)}f$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2$ es: $$\begin{pmatrix}e^x\cos(y)&-e^x\sin(y)\\e^x\sin(y)&e^x\cos(y)\end{pmatrix}.$$ Su determinante es $e^{2x}$ que es distinto de cero para todos los $(x,y)$ . Por lo tanto, según el teorema, para todo $(x,y)\in\mathbb{R}^2$ , $f$ es un $C^1$ -en una vecindad de $(x,y)$ .

Supongamos por contradicción que existe $g\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ a $C^1$ -mapping tal que: $$g\circ f=\textrm{id}_{\mathbb{R}^2}.$$ Entonces, dejemos que $(X,Y)\in(\mathbb{R}^2)^2$ tal que $f(X)=f(Y)$ entonces $g(f(X))=g(f(Y))$ es decir $X=Y$ y $f$ es inyectiva. Sin embargo, $f$ es no inyectiva ya que $f(0,0)=(1,0)=f(0,2\pi)$ y $(0,0)\neq (0,2\pi)$ una contradicción. De ahí, $f$ no es un $C^1$ -difeomorfismo.

Tal vez dé más luz para notar que si uno se identifica $\mathbb{R}^2$ con $\mathbb{C}$ a través de $(x,y)\mapsto x+iy$ entonces el mapeo considerado es el exponencial complejo , $z\mapsto e^z$ que es invertible en cualquier franja horizontal de longitud máxima $2\pi$ .

Answer 2

La idea es que el teorema de la función inversa garantiza, en una vecindad de cada $(x,y)$ la existencia de una inversa local (porque el jacobiano nunca es cero, y la función es $C^1$ ). Sin embargo, no puede haber un inverso global; nótese, por ejemplo, que $f$ no es inyectiva.