Transformada de Fourier de un pulso rectangular desplazado y escalado

Question

Estoy tratando de encontrar la transformada de Fourier del siguiente pulso rectangular:

$$ x(t) = rect(t - 1/2) $$

Esto es simplemente un pulso rectangular que se extiende de 0 a 1 con una amplitud de 1. Es 0 en otros lugares. Intenté usar la definición de la Tranformación de Fourier:

$$ X(\omega) = \int_0^1 (1)*e^{-j\omega*t}dt $$

Sin embargo, al llevar a cabo la integración relativamente simple y subiendo los resultados de los límites para mí en esto:

$$ X(\omega) = \frac{1}{j\omega}[e^{-j\omega} - 1] $$

& desafortunadamente wolfram alpha tiene una respuesta diferente cuando lo uso para calcular esta transformada de fourier. Tiene la función sinc; Agradecería cualquier ayuda sobre esto, si es que tengo algún error conceptual gigante. Tengo un examen sobre estas cosas en poco menos de una semana :/

Edición: también me he dado cuenta de que he utilizado la j; es lo mismo que con la i (el # imaginario)

Answer 1

Son iguales entre sí. Reescríbelo usando lo siguiente:

$$ ( e^{-j\omega} - 1 ) = e^{-j\omega/2}( e^{-j\omega/2} - e^{j\omega/2} ). $$

Answer 2

Estás cometiendo un pequeño error amigo, la transformada de Fourier de la función rectangular desplazada (dada como ques) será, $X(w)=\frac1{-jw}\left(e^{-jw} - 1\right)$ . Entonces resuelve.