Demostrar que $\gcd(pf,pg) = p \cdot \gcd(f,g)$ cuando $p,f,g$ son polinomios

Question

¿Cómo se empieza a demostrar esta teoría?

Pruébalo: $$\gcd(pf,pg) = p \cdot \gcd(f,g)$$ cuando $$p,f,g \in \mathbb F[x] \;,\;\text{The max power multiplier of $ p $ is 1 (fixed polynomial)}.$$

Answer 1

Una pista:

Qué es el GCD $(ak,bk)$ si GCD $(a,b)=1$ ?

Por ejemplo: Sea $a(x)=x^2+x+2$ y $b(x)=x^2+x+1$ . Claramente, GCD $(a(x),b(x))=1$

Si se multiplica $a(x)$ y $b(x)$ con algún polinomio $k(x)$ , se tendrá que el GCD de los nuevos polinomios es $k(x)$ .

Answer 2

La pista de Inceptio te permitirá demostrar esa igualdad siempre que tu anillo polinómico sea un UFD. Si supones que $\Bbb F$ es un campo, sin embargo, puede ser más fácil recordar que $\Bbb F[X]$ es un PID...

Answer 3

A continuación se presentan tres pruebas de la ley distributiva gcd $\rm\ (ax,bx) = (a,b)x\ $ utilizando la identidad de Bezout, las leyes universales de gcd y la factorización única.

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Primero mostramos que la ley distributiva gcd se deduce inmediatamente del hecho de que, por Bezout, la gcd puede especificarse mediante ecuaciones lineales. La distributividad se debe a que tales ecuaciones lineales se conservan mediante escalas. En concreto, para $\rm\:a,b,c,x \ne 0\:$ en un dominio $\rm\:D\:$ satisfacer la identidad de Bezout

$\rm\qquad\qquad \phantom{ \iff }\ \ \ \:\! c = (a,b) $

$\rm\qquad\qquad \iff\ \: c\:\ |\ \:a,\:b\ \ \ \ \ \ \&\ \ \ \ c\ =\ ja\: +\: kb,\ \ \ $ algunos $\rm\:j,k\in D$

$\rm\qquad\qquad \iff\ cx\ |\ ax,bx\ \ \ \&\ \ \ cx = jax + kbx,\ \,$ algunos $\rm\:j,k\in D$

$\rm\qquad\qquad { \iff }\ \ cx = (ax,bx) $

El lector familiarizado con los ideales observará que estas equivalencias se recogen de forma más concisa en la ley distributiva de la multiplicación ideal $\rm\:(a,b)(x) = (ax,bx),\:$ cuando se interpreta en un dominio PID o Bezout, donde el ideal $\rm\:(a,b) = (c)\iff c = gcd(a,b)$

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Alternativamente, de forma más general, en cualquier dominio integral $\rm\:D\:$ tenemos

Teorema $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ax,bx)/x\ \ $ si $\rm\ (ax,bx)\ $ existe en $\rm\:D.$

Prueba $\rm\quad\: c\ |\ a,b \iff cx\ |\ ax,bx \iff cx\ |\ (ax,bx) \iff c\ |\ (ax,bx)/x$

La prueba anterior utiliza el universal definiciones de GCD, LCM que a menudo sirven para simplificar las pruebas, por ejemplo, véase esta prueba de la ley GCD * LCM.

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Alternativamente, comparando potencias de primos en factorizaciones únicas, se reduce a lo siguiente $$ \min(a+c,\,b+c)\ =\ \min(a,b) + c$$

La prueba es precisamente lo mismo que la prueba anterior, sustituyendo gcd por min, y dividiendo por $\le$ y

$$\begin{eqnarray} {\rm employing}\quad\ c\le a,b&\iff& c\le \min(a,b),\\ \rm the\ analog\ of\quad\ c\ \, |\, \ a,b&\iff&\rm c\ \,|\,\ (a,b) \end{eqnarray}$$