Para $1<m<n$ , demuestran que $G=\langle (1,2,\ldots,m),\,(1,2,\ldots,n)\rangle \subset S_n$ contiene un $3$ -ciclo.

Question

(Compongo las permutaciones de izquierda a derecha)

A modo de inducción sobre $n$ Supongamos que para todos $l < n$ que si $1 < k < l$ entonces $\langle (1,\ldots,k),\,(1,\ldots,l)\rangle$ contiene un $3$ -ciclo. No hay nada que mostrar para el caso base $l=3$ . Considera que $$(1,\ldots,n)(1,\ldots,m)^{-1} = (m,m+1,\ldots,n).$$ y $$(1,\ldots,n-m+1) = (1,\ldots,n)^{m-1}(m,m+1,\ldots,n)(1,\ldots,n)^{1-m},$$ para que $(1,\ldots,n-m+1)\in G$ . Si $m \neq n-m+1$ Entonces, o bien $1 <m < n-m+1 < n$ o $1 < n-m+1 < m < n$ . En cualquiera de estos casos, la hipótesis de inducción establece que $\langle(1,2,\ldots,m) (1,\ldots,n-m+1)\rangle$ contiene un $3$ -que entonces también debe estar contenido en $G$ . Ahora sólo tenemos el caso en el que $n = 2m-1$ .

No puedo seguir adelante.

Answer 1

Aviso $(1,2, ... , n)(1,2, ..., m)^{-1}(1,2, ..., n)^{-1}(1, 2, ..., m) =(1nm)$ de izquierda a derecha.