Intuición sobre la fórmula del rizo

Question

Estoy tratando de entender la fórmula del rizo: $$\operatorname{Curl}(F) = \nabla \times F $$

¿Por qué el producto vectorial? ¿Qué significa el producto vectorial de un vector y un operador? ¿Cuál es el significado de cada uno de los términos resultantes $ \frac { \partial F_y }{ \partial x } -\frac { \partial F_x }{ \partial y } $ ?

Creo que entiendo el concepto del rizo, recomiendo este si alguien está interesado. El problema está en la fórmula.

Answer 1

Unidades, rizo y circulación

En primer lugar, es conveniente concebir un campo vectorial como el campo de velocidad de un flujo, $${\bf F} =(F_1,F_2,F_3)= \left({dx \over dt},\, {dy \over dt},\, {dz \over dt}\right)\,,$$ que tiene las dimensiones de longitud/tiempo. El rizo se convierte entonces en $${\rm curl}\; {\bf F} = \left( {\partial \over \partial y} {dz \over dt} - {\partial \over \partial z} {dy \over dt},\, {\partial \over \partial z} {dx \over dt} - {\partial \over \partial x} {dz \over dt},\, {\partial \over \partial x} {dy \over dt} - {\partial \over \partial y} {dx \over dt} \right)$$ que tiene las dimensiones de 1/tiempo, igual que la velocidad angular. La llamada circulación (alrededor de una superficie orientada $S$ ) viene dada por $$\hbox{circulation} = \int_{\partial S} {\bf F} \cdot dr$$ que tiene las dimensiones de área/tiempo y es un poco difícil de entender intuitivamente. (Si ${\bf F}$ representan la fuerza, la integral representa el trabajo neto alrededor de $S$ pero en ese caso, el rizo tiene las dimensiones impar de masa/tiempo ${}^2$ que no sé cómo explicar).

De Stokes a la circulación/área

Una forma de abordar la idea del rizo es a través del teorema de Stokes, que dice que la circulación del campo vectorial alrededor de una superficie es igual al flujo del rizo a través de la superficie: $$\int_{\partial S} {\bf F} \cdot dr = \iint_S {\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n}\;dS$$ donde ${\bf n}$ es la normal de la superficie. Por el teorema del valor medio $$\iint_S {\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n} \;dS= {\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n}\iint_S dS = ({\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n})\;A(S) $$ donde ${\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n}$ se evalúa en algún punto de $S$ . Y así $${\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n} = {\hbox{circulation} \over A(S)}$$ Si $S$ es un pequeño cuadrado normal a ${\bf n}$ la circulación será máxima cuando ${\bf n}$ apunta en la dirección de ${\rm curl}\; {\bf F}$ .

De la circulación/área a la fórmula del rizo

Se pueden calcular las componentes del rizo dejando que ${\bf n}$ sea ${\bf i}, {\bf j}, {\bf k}$ . Mostraremos el cálculo para ${\bf n} = {\bf k}$ . Sea $S$ sea un cuadrado paralelo con ángulos opuestos $(x,y,z)$ y $(x+dx,y+dy,z)$ . A lo largo de un lado de $S$ la integral de ${\bf F} \cdot dr$ est $\pm F_1\,dx$ o $\pm F_2\,dy$ , evaluado en algún punto del lado y el signo de acuerdo con la orientación del lado. Los lados opuestos tienen orientaciones opuestas. Combinando los cuatro términos, podemos aproximar la circulación por $$\begin{align} (F_2(x+dx,y^*,z)&-F_2(x,y^*,z))\;dy - (F_1(x^*,y+dy,z)-F_1(x^*,y,z))\;dx \\ &= {\partial \over \partial x} {dy \over dt} \;dx\;dy - {\partial \over \partial y} {dx \over dt} \;dx\;dy \end{align}$$ Por lo tanto, ya que $A(S) = dx\;dy$ , $${\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf k} = { {\partial \over \partial x} {dy \over dt} \;dx\;dy - {\partial \over \partial y} {dx \over dt} \;dx\;dy \over dx\;dy} = {\partial \over \partial x} {dy \over dt} - {\partial \over \partial y} {dx \over dt}\,.$$ Las ecuaciones se vuelven exactas en el límite como $dx \rightarrow 0$ y $dy \rightarrow 0$ y se puede construir una prueba rigurosa con la ayuda del teorema del valor medio. Los demás componentes pueden derivarse de forma similar.

Supongo que normalmente se hace lo contrario, es decir, derivar el teorema de Stokes a partir del rizo en lugar de la fórmula del rizo a partir del de Stokes, pero si se acepta que el de Stokes ha sido demostrado, entonces no debería importar que lo hayamos utilizado para entender mejor la fórmula. Sin embargo, aún queda por decir cómo se relaciona la fórmula con la rotación.

El flujo del campo vectorial y la rotación instantánea local

Así que si volvemos a considerar nuestro cuadrado $S$ con normalidad ${\bf k}$ y queremos considerar los movimientos relativos de dos puntos en $(x,y,z)$ y en $(x+dx,y,z)$ . Queremos entender la rotación del segundo sobre un eje paralelo a ${\bf k}$ a través de $(x,y,z)$ . Claramente el $z$ es irrelevante. También el $x$ es, porque si $dx/dt=F_1(x,y,z)$ difiere de $dx/dt=F_1(x+dx,y,z)$ el $x$ Las coordenadas de los puntos se acercan o se alejan unas de otras y tales movimientos relativos no contribuyen a la rotación. Lo que queda es la $y$ componente. El cambio en el $y$ coordenadas de las dos partículas en un tiempo pequeño $dt$ es aproximadamente $(F_2(x+dx,y,z)-F_2(x,y,z))\;dt$ . Como los puntos son $dx$ de distancia, el ángulo girado es $$d\theta_1 \approx \tan d\theta_1 = {(F_2(x+dx,y,z)-F_2(x,y,z))\;dt \over dx} = {\partial \over \partial x} F_2 \; dt = {\partial \over \partial x} {dy \over dt} \; dt\,.$$ Del mismo modo, comparando los puntos $(x,y,z)$ y $(x,y+dy,z)$ podemos demostrar que el ángulo girado es aproximadamente $$d\theta_2 \approx - {\partial \over \partial y} {dx \over dt} \; dt\,.$$

Cabe preguntarse si el análisis anterior es demasiado flojo. Uno puede ver lo que sucede en esta figura:

Los puntos $(x,y,z)$ y $(x+dx,y,z)$ en el flujo de la izquierda en un tiempo determinado $\Delta t$ a dos puntos $(x',y',z')$ y $(x'+dx+\Delta x,y'+\Delta y,z'+\Delta z)$ a la derecha. El cambio relativo de posición viene dado por $$(\Delta x,\Delta y,\Delta z) \approx \left( {\partial F_1 \over \partial x}\;dx,\, {\partial F_2 \over \partial x}\;dx,\, {\partial F_3 \over \partial x}\;dx \right)\; \Delta t = \left( {\partial \over \partial x} {dx \over dt},\, {\partial \over \partial x} {dy \over dt},\, {\partial \over \partial x} {dz \over dt} \right) \;dx \;\Delta t$$ La rotación de la cantidad $\Delta\theta$ en el tiempo $\Delta t$ sobre ${\bf k}$ viene dada por $$\tan \Delta\theta = {\Delta y \over dx + \Delta x}$$ Como $\Delta t \rightarrow 0$ , $dx$ es fijo; pero $\Delta x \rightarrow 0$ , $\Delta y \rightarrow 0$ y $\tan \Delta\theta \sim \Delta\theta \rightarrow 0$ . Así, $${\Delta\theta \over \Delta t} \sim {\tan \Delta\theta \over \Delta t} \sim {\Delta y/\Delta t \over dx} \rightarrow {\partial \over \partial x} {dy \over dt}\,.$$ La derivada parcial se evalúa en algún punto $(x^*,y,z)$ entre $(x,y,z)$ y $(x+dx,y,z)$ . Como $dx \rightarrow 0$ , $(x^*,y,z) \rightarrow (x,y,z)$ y la tasa angular se convierte en el término de la fórmula del rizo.

El rizo y el índice de rotación

Encontramos el ${\bf k}$ componente del rizo para ser la suma de dos índices de rotación $${\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf k} ={d\theta_1 \over dt} + {d\theta_2 \over dt} = { \left({\partial \over \partial x} {dy \over dt} \right) + \left( - {\partial \over \partial y} {dx \over dt} \right)}\,.$$ Los demás componentes pueden derivarse de forma similar. Los ejes de coordenadas cartesianas pueden elegirse arbitrariamente. En un punto de una superficie dada con normal unitaria ${\bf n}$ podemos elegir los ejes de coordenadas de manera que ${\bf k} = {\bf n}$ (con ${\bf i}, {\bf j}$ siendo cualquier vector unitario mutuamente ortogonal que nos plazca). Así, la componente del rizo ${\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n}$ es la suma de dos índices de rotación independientemente de la elección de ${\bf i}, {\bf j}$ .

Una forma de pensar en ello es que el rizo es el doble de la media de dos velocidades de rotación. ¿Por qué el doble? ¿Por qué la media? Argumentos plausibles: (1) Resulta que es así. :) (2) La bisectriz del ángulo formado por $(x,y+dy,z)$ -- $(x,y,z)$ -- $(x+dx,y,z)$ gira a la velocidad media. (3) La circulación/área tiene un factor de 2 cuando $S$ es un disco o un cuadrado, cuando se ve de una manera determinada: Sea $S$ sea un disco o cuadrado centrado en $(x,y,z)$ cuyo perímetro es un radio/distancia $R$ desde el centro. Si escribimos la circulación/área en la forma $${\rm curl}\; {\bf F} \cdot {\bf n} = {\int_{\partial S} {\bf F} \cdot dr \over \hbox{area}}= {(\bar{{F}})(\hbox{perimeter}) \over \hbox{area}} = {(\bar {F})(2\pi R) \over \pi R^2} \,\buildrel {\rm or} \over = \, {(\bar {F})(8R) \over 4R^2}= {2\,\bar {F} \over R}\,,$$ entonces la componente normal del rizo es el doble de la circulación media $\bar {F}$ sobre el radio de $S$ . Así, por ejemplo, si un disco gira a una velocidad angular $\omega$ la velocidad en el perímetro es una constante $\omega R$ que también es igual a $\bar {F}$ . La circulación es $(\omega R)\,(2\pi R)$ y por lo tanto la circulación/área es $2 \omega$ es decir, el doble de la velocidad media de rotación.

Curl y el carril compartido

Supongamos que modelamos el flujo de tráfico en una autopista mediante un $C^2$ campo vectorial autónomo, donde cada coche representa una partícula discreta del flujo. Si (como pasajero) mantienes la mirada fija hacia un coche cercano, entonces la tasa absoluta a la que gira tu cabeza (o más bien tu ojo) será proporcional al rizo. Por ritmo absoluto, quiero decir que el ángulo debe medirse con respecto a una dirección fija, como el norte.

Answer 2

Tomado de mi MathOverflow responder aquí .

Dejemos que $F = (F_1, F_2, F_3)$ denota un campo vectorial en $\mathbb{R}^3$ y escribir $\text{curl}\ F = (G_1, G_2, G_3)$ . Nos gustaría una situación en la que $G_1$ describe la rotación "instantánea" de $F$ sobre el $x$ -eje, $G_2$ la rotación sobre el $y$ -eje, y $G_3$ la rotación sobre el $z$ -eje.

Así que pensemos en los campos vectoriales que hacen precisamente eso. Tres sencillos (¡lineales!) que nos vienen a la mente son $$H_1(x,y,z) = (0, -z, y)$$ $$H_2(x,y,z) = (z, 0, -x)$$ $$H_3(x,y,z) = (-y, x, 0)$$ Así que para medir cuánto $F$ gira sobre, por ejemplo, el $z$ -eje, tiene sentido mirar algo que compara lo similar $F$ es $H_3$ . El producto punto $F(x,y,z) \cdot H_3(x,y,z)$ parece razonable, que es precisamente $-yF_1(x,y,z) + xF_2(x,y,z).$

Esto sugiere que la definición de $$G_1(x,y,z) \approx -zF_2(x,y,z) + yF_3(x,y,z)$$ $$G_2(x,y,z) \approx zF_1(x,y,z) - xF_3(x,y,z)$$ $$G_3(x,y,z) \approx -yF_1(x,y,z) + xF_2(x,y,z)$$ podría dar algo parecido a lo que queremos. Pero esta es una forma muy burda de medir la rotación "instantánea", de hecho, se podría decir que es una especie de aproximación lineal. Así, nos vemos abocados a sustituir los términos lineales por sus correspondientes derivaciones: $$G_1(x,y,z) = -\frac{\partial}{\partial z}F_2 + \frac{\partial}{\partial y}F_3$$ $$G_2(x,y,z) = \frac{\partial}{\partial z}F_1 - \frac{\partial}{\partial x}F_3$$ $$G_3(x,y,z) = -\frac{\partial}{\partial y}F_1 + \frac{\partial}{\partial x}F_2,$$ que es precisamente el rizo.

Answer 3

Dejar $\mathbf{F}=(L(x,y),M(x,y))$

del teorema de Green

$\oint_{C} (\bf F\, \cdot d \bf r) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dx\, dy $

ahora define $\operatorname{Curl}(F)$ = $\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}$

Ahora supongamos que quieres encontrar la fórmula del rizo para el espacio.

A partir del teorema de Green sabemos que el rizo del campo de gradiente debe ser cero . utilizaremos esto para obtener la fórmula del rizo en el espacio

así que deja que $f=f(x,y,z)$

$$\nabla f=\mathbf{F}=(\frac { \partial f }{ \partial x },\frac { \partial f }{ \partial y },\frac { \partial f }{ \partial z })$$

$\frac { \partial f }{ \partial x }=P$ , $\frac { \partial f }{ \partial y }=Q$ , $\frac { \partial f }{ \partial z }=R$

y como podemos intercambiar el orden de toma de las derivadas parciales

• $\frac { \partial^2 f }{ \partial x \partial y}=\frac { \partial^2 f }{ \partial y \partial x}$ $\Rightarrow$ $\frac { \partial P }{ \partial y }=\frac { \partial Q }{ \partial x }$

• $\frac { \partial^2 f }{ \partial x \partial z}=\frac { \partial^2 f }{ \partial z \partial x}$ $\Rightarrow$ $\frac { \partial P }{ \partial z }=\frac { \partial R }{ \partial x }$

• $\frac { \partial^2 f }{ \partial y \partial z}=\frac { \partial^2 f }{ \partial z \partial y}$ $\Rightarrow$ $\frac { \partial Q }{ \partial z }=\frac { \partial R }{ \partial y }$

por lo que para cualquier campo vectorial $\mathbf{F}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ para ser un campo de gradiente, debe satisfacer estas condiciones

1. $\frac { \partial Q }{ \partial z }=\frac { \partial R }{ \partial y }$

2. $\frac { \partial P }{ \partial z }=\frac { \partial R }{ \partial x }$

3. $\frac { \partial P }{ \partial y }=\frac { \partial Q }{ \partial x }$

los combinamos en una fórmula para que cuando el campo vectorial sea campo gradiente, satisfaciendo así las condiciones anteriores, el rizo sea cero

$\operatorname{Curl}(F)$ =( $\frac { \partial Q }{ \partial z }-\frac { \partial R }{ \partial y }$ )+( $\frac { \partial P }{ \partial z }-\frac { \partial R }{ \partial x }$ )+( $\frac { \partial Q }{ \partial x }-\frac { \partial P }{ \partial y }$ )

entonces lo reescribiré de otra manera para que sea más fácil de recordar (en forma de determinante)

$\operatorname{Curl}(F)$ =( $\frac { \partial Q }{ \partial z }-\frac { \partial R }{ \partial y }$ )-( $\frac { \partial R }{ \partial x }-\frac { \partial P }{ \partial z }$ )+( $\frac { \partial Q }{ \partial x }-\frac { \partial P }{ \partial y }$ )

ahora después de llegar a este paso notamos que esto es casi exactamente lo mismo que la expansión del producto cruzado

$\begin{align} \mathbf{u}\times\mathbf{v}\ =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ u_1&u_2&u_3\\ v_1&v_2&v_3\\ \end{vmatrix} =&(u_2v_3-u_3v_2)\mathbf{i}-(u_1v_3-u_3v_1)\mathbf{j}+(u_1v_2-u_2v_1)\mathbf{k}\\ \end{align}$

dejar $\nabla=\mathbf{u}$ , $\mathbf{F}=\mathbf{v}$

$\begin{align} \nabla\times\mathbf{F}\ =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ {\frac{\partial}{\partial x}}&{\frac{\partial}{\partial y}}&{\frac{\partial}{\partial z}}\\ P&Q&R\\ \end{vmatrix} =&(\frac { \partial R }{ \partial y }-\frac { \partial Q }{ \partial z })\mathbf{i}-(\frac { \partial R }{ \partial x }-\frac { \partial P }{ \partial z })\mathbf{j}+(\frac { \partial Q }{ \partial x }-\frac { \partial P }{ \partial y })\mathbf{k}\\ \end{align}$

que es precisamente el rizo.

$\operatorname{Curl}(F)=\nabla\times\mathbf{F}\ $

y como mencionó Hayden eso no significa que tomemos el producto cruzado de cualquier cosa es solo un abuso de la notación porque es conveniente así.

Answer 4

$\nabla\times \mathbf{F}$ , donde $\mathbf{F}=\langle F_1,F_2,F_3\rangle$ es un dispositivo para representar la fórmula del rizo derivada en una demostración/explicación geométrica como la que has enlazado:

$$ \text{curl}\,\mathbf{F} =\left\langle {\partial F_3\over \partial y}-{\partial F_2\over \partial z}, {\partial F_1\over \partial z}-{\partial F_3\over \partial x}, {\partial F_2\over \partial x}-{\partial F_1\over \partial y}\right\rangle. $$

Nos gustaría una forma concisa de hablar de la cantidad del lado derecho, por lo que observamos su fórmula de la siguiente manera \begin{align} \left\langle {\partial F_3\over \partial y}-{\partial F_2\over \partial z}, {\partial F_1\over \partial z}-{\partial F_3\over \partial x}, {\partial F_2\over \partial x}-{\partial F_1\over \partial y}\right\rangle &=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ {\partial \over \partial x} & {\partial \over \partial y} & {\partial \over \partial z}\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix} \\ &=left\langle {\parcial \over \partial x} , {\parcial \over \partial y} sobre la parte z derecho ángulo F_1, F_2, F_3 ángulo &=\nabla\times\,\mathbf{F}, \fin en el sentido de que la cantidad que tenemos en el lado izquierdo es igual al "determinante" del medio, y este determinante del medio parece un producto cruzado de las derivadas parciales con las funciones escalares componentes, así que lo empaquetamos como tal y lo llamamos $\text{curl}\,\mathbf{F}$ .

¡Voilà! Buena significativo Nace la notación matemática (enraizada en el concepto).

Answer 5

En contraste con John, creo que ayuda a considerar $\nabla$ como vector operador, ya que tiene muchas propiedades algebraicas de un vector. Muchas identidades que implican vectores son válidas para él, por lo que la expresión del rizo no es una mera ayuda notacional.