¿Por qué esta distribución de raíces polinomiales se asemeja a una colección de fractales IFS afines?

Question

Considera la siguiente imagen espectacular, creada por Sam Derbyshire y descrita en el artículo de John Baez "La Belleza de las Raíces":

En esta imagen se muestran todas las raíces complejas de todos los polinomios de grado $\le 24$ con coeficientes tomados del conjunto $\{-1, 1\}$. ¡Hay una estructura increíble en ella, sobre la cual se pueden hacer muchas preguntas! Sin embargo, las simetrías alrededor del eje $x$, del eje $y$ y del círculo unitario son fácilmente explicadas: no es difícil demostrar que si $z$ es una raíz de un polinomio con coeficientes en $\{-1,1\}$, entonces también lo son $\bar z$, $-z$ y $z^{-1}$.

Por favor, echa un vistazo al artículo mencionado de John Baez para ver más imágenes ampliadas que muestran el hermoso detalle en esta distribución de raíces. En particular, hacia el interior del círculo unitario, la distribución no disminuye suavemente, sino que parece formar patrones fractales, como cerca de $z = 4/5$, cerca de $z = 4i/5$ y cerca de $z = e^{i/5}/2$. De hecho, estos patrones son extremadamente reminiscentes de las imágenes producidas por los sistemas de funciones iteradas de transformaciones afines. Con un poco de experimentación usando la aplicación Chaos Game de David Eck, descubrí que para producir fractales similares a estos patrones, solo se necesitan dos mapas afines, ambos compuestos por una escala de aproximadamente el 70% y una rotación por $\arg z$, y difieren en una translación. Para ilustrar:

Tengo la tentación de decir que toda la distribución parece un catálogo de dichos IFSs afines, de la misma manera que el conjunto de Mandelbrot es como un catálogo de conjuntos de Julia.

Mi pregunta es simple: ¿Por qué es así? ¿Cuál es la razón por la que las raíces de polinomios de $\{-1,1\}$ forman una distribución tan fractal, que se comporta localmente como un IFS afín?

Answer 1

No puedo dar una respuesta completa, pero puedo hacer algunas observaciones en la dirección general de una respuesta. Tenga en cuenta que la mayoría de esto se basa en la memoria de pasar varias horas mirando el comportamiento de estos gráficos y observando cómo se relacionan con las raíces de los polinomios individuales. Todo esto es "matemática empírica" (asumiendo que eso es incluso una cosa, jeje) pero los patrones son bastante claros y aunque dudo que tenga la formación matemática para hacer que la mayor parte sea rigurosa, dudo que sería demasiado difícil.

• No se limita a coeficientes de $\{-1,1\}$; casi cualquier colección de polinomios con coeficientes elegidos de un conjunto muy limitado producirá patrones similares.

• El carácter del patrón está directamente relacionado con la ubicación en el plano complejo, específicamente el efecto de la multiplicación. Así que sospecho que cataloga los IFSs solo en la medida en que el plano complejo cataloga (algunas) transformaciones afines. Tenga en cuenta que la fórmula del conjunto de Julia, en contraste, permite que la transformación varíe durante la iteración con solo una constante aditiva para alterar la forma, por eso tiene un comportamiento caótico más elaborado en comparación con la estructura similar a IFS aquí.

• Cada fragmento de un patrón se asemeja aproximadamente a un conjunto de Cantor, con fragmentos superpuestos fuertemente excepto en los bordes exteriores. Cada fragmento está torcido de acuerdo con la naturaleza de la multiplicación compleja, y la combinación crea la similitud que notaste.

Los dos últimos puntos son bastante intuitivos dados la naturaleza de los números complejos y principalmente aparentes desde la inspección de los gráficos, pero realmente no hacen mucho para explicar por qué, lo que imagino es por qué Baez no hizo comentarios al respecto.

Tampoco se explican los vacíos, como los que hay alrededor de las raíces de la unidad. No recuerdo las ubicaciones exactas, pero recuerdo que también era obvio por qué las ubicaciones de los vacíos eran relevantes, pero no por qué la densidad de raíces disminuye tan bruscamente alrededor de ellos. Podría hacer algunas conjeturas, pero solo con abundante movimiento de manos involucrado.

Por otro lado, excepto por los espacios vacíos, creo que el anillo grueso alrededor del círculo unitario simplemente consiste en más variaciones de los mismos patrones, más densos y superpuestos de manera intensa, hasta que el detalle ya no es visible.

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Respecto a variaciones en gráficos como este, aproximadamente aparece el mismo patrón independientemente del grado del polinomio, y para cualquier conjunto de coeficientes de la forma $\{-N, -(N - 1) ... -1, 1 ... N - 1, N\}$. La densidad de raíces alrededor del círculo unitario, la prominencia de los espacios alrededor de ciertos puntos y el carácter del borde dentro de los espacios vacíos varían con el grado; esto es difícil de ver en el gráfico de Derbyshire en lugar de uno limitado a polinomios de un solo grado.

La forma del gráfico general cambia si los coeficientes no se eligen como se indicó anteriormente, ya sea de magnitudes diferentes o elegidos de más de un conjunto. Tenga en cuenta los gráficos en esta página, especialmente aquellos cerca del final. La coloración indica la sensibilidad de los puntos a los cambios en los coeficientes, lo que indica qué partes del gráfico pueden distorsionarse asimétricamente.

Mis observaciones, en general, fueron:

• Diferencias grandes en magnitud entre coeficientes hacen que los patrones sean más estrechos y densos, sin cambiar la simetría si cada coeficiente individual se elige de un conjunto como el que usa el gráfico original.

• Diferencias grandes en magnitud entre los elementos en cada conjunto hacen que el gráfico en su conjunto sea más asimétrico, al tiempo que hace que las variaciones de densidad sean más prominentes y elimina los patrones del borde alrededor del borde.

Hacer ambas cosas moderadamente crea... efectos extraños:

Answer 2

Recientemente me di cuenta de que en algún momento desde que publiqué esta pregunta, el artículo de John Baez que la inspiró ha sido actualizado. Ahora incluye una explicación del fenómeno en términos de composiciones de las familias de funciones de un parámetro $f_+(x) = 1 + zx$ y $f_-(x) = 1 - zx$, que evidentemente son los dos mapas afines sobre los que especulaba en mi pregunta. La relación entre el conjunto de raíces y las composiciones de $f_+$ y $f_-$ aparentemente es de hecho análoga a la correspondencia Mandelbrot-Julia. Todavía no sigo completamente el argumento en el artículo actualizado, pero parece claro que la respuesta a mi pregunta está allí, así que estoy publicando un enlace a él como respuesta a esta comunidad wiki.

(Dado que esto es CW, si alguien quiere editar una reformulación concisa del argumento enlazado, adelante.)