Contraejemplo de convergencia débil en $L^p$ si p=1

Question

Para $1<p<\infty$ , una secuencia $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ en $L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ y $f \in L^p(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}), \lambda)$ Ya he demostrado que

$f_n \longrightarrow f$ débilmente como $n \longrightarrow \infty$ si $\int_{E} f_n \,d\lambda \longrightarrow \int_E f \, d\lambda$ como $n \longrightarrow \infty$ para todo subconjunto medible $E \subset \mathbb{R}$ de medida finita y $\sup_{n \in \mathbb{N}} ||f_n||_{L^p(\mathbb{R})}< \infty$

Esta afirmación no es válida para $p=1$ pero no he podido encontrar un ejemplo. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

David Ullrich ya explicó por qué ocurre esto. Como ejemplo se puede tomar $f_n=1_{[n,n+1]}$ . Para cada medida $E$ con medida finita tenemos $0\leq f_n 1_E\leq 1_E$ y $f_n 1_E\to 0$ en sentido estricto, por lo que $f_n 1_E\to 0$ por el teorema de convergencia dominada. Sin embargo, $\int_{\mathbb{R}}f_n=1$ por lo que la secuencia no puede converger a $0$ débilmente en $L^1$ .