¿Una geodésica es siempre regular?

Question

Supongamos que $(M, \nabla)$ es una variedad suave dotada de una conexión afín. En nuestras clases de geometría, definimos una geodésica como una curva $\gamma: I \rightarrow M$ que satisface el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

$$\ddot\gamma_k(t)+\sum_{i,j=1}^{n}\Gamma_{ij}^{k}(\gamma_1(t), \dots, \gamma_n(t))\dot\gamma_i(t)\dot\gamma_j(t)=0, \;\; k=1,2, \dots, n,$$

donde $\gamma_i$ denota el $i$ -coordenada de $\gamma$ y $\Gamma_{ij}^k$ son los símbolos de Christoffel, todos en coordenadas locales adecuadas.

Lo que no veo es cómo el sistema de ecuaciones anterior asegura que las curvas $\gamma$ son regulares (lo que debería mantenerse incluso si están definidos en un intervalo máximo). Más concretamente, nuestro profesor afirma que, o bien la geodésica es "trivial", es decir, un mapa constante (que mapea todo el intervalo a un punto), o bien es una curva regular. ¿Se puede ver algo directamente de las ecuaciones anteriores, o cómo se puede demostrar?

Gracias de antemano por cualquier ayuda.

PD: Esta pregunta es muy similar a este pregunta. Sin embargo, no sé cómo puede el dato de la conexión afín $\nabla$ se "traduzca" a la noción de métrica riemanniana (o si las nociones son algo fundamentalmente diferentes). Por lo tanto, la respuesta allí no me ayuda realmente.

Editar: Mi definición de los símbolos de Chritoffel es que son el conjunto de funciones únicas tales que $$\nabla_{\frac{\partial}{\partial u_i}}\frac{\partial}{\partial u_i}=\sum_{k=0}^{n}\Gamma_{ij}^k\frac{\partial}{\partial u_k}, \;\; i,j, \in \{1,2, \dots, n\}.$$

Answer 1

Así que mirando ¿por qué una geodésica es una curva regular? parece que regular significa simplemente $\dot\gamma \ne 0$ en toda la curva. Hay un teorema que dice que si $F:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$ es suave (en realidad localmente Lipschitz debería ser suficiente), entonces si tratamos de resolver la oda $$\dot x = F(x), \quad x(t_0) = x_0$$ y extenderlo tanto hacia adelante como hacia atrás en el tiempo a una función $x:(t_0-t_1,t_0+t_2) \to \mathbb R^n$ (donde $t_1>0$ y $t_2>0$ puede ser $\infty$ ), entonces esa solución, si existe, es única. Esto significa que si en algún momento $F(x(t_0)) = 0$ entonces $x(t) = x(t_0)$ es una solución, y por lo tanto la única solución, a lo largo de todo el intervalo.

Utilizando un atlas, debería ser posible extender esto a los colectores: $$F:M\times TM \to T(M\times TM), \quad F(x,y) = \left(y,\sum_{ijk} \Gamma^i_{jk}(x) y_j y_k\frac\partial{\partial x_i}\right) .$$

Sé que este teorema que cité arriba está en algún lugar de "Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones" de Carmen Chicone, pero no tengo una copia del libro conmigo ahora mismo.

Además, si la función $F$ es suave (es decir, si los símbolos de Christoffel son suaves), entonces se puede demostrar que la solución $x(t)$ también es suave.