En un problema reciente, recibí el siguiente escenario: Un objeto se mueve de un lado a otro en una vía recta. Durante el intervalo de tiempo $0\leq{t}\leq30$ minutos, la posición del objeto, $x$ y la velocidad, $v$ son funciones continuas; algunos de sus valores se muestran en la tabla (que he reproducido a continuación).
\begin{array}{|c|c|c|}\hline \textbf{$t$ (min)} & \textbf{$x(t)$ (feet)} & \textbf{$v(t)$ (feet/min)} \\\hline 0 & \text{12} & \text{$-20$} \\\hline 10 & \text{50} & \text{20} \\\hline 15 & \text{18} & \text{3} \\\hline 25 & \text{60} & \text{$-2$}\\\hline 30 & \text{60} & \text{10} \\\hline \end{array}
La cuestión era, para $0<t<30$ ¿existe un tiempo $t$ cuando $v(t) = -22$ ?
Intenté aplicar el teorema del valor intermedio y concluí que la respuesta era "no necesariamente". Razoné que porque los valores de $v(t)$ en la tabla oscilaban entre $-20$ (al principio) y $10$ (al final), y $-22$ no estaba entre esos dos valores, no podíamos estar seguros de que tal $t$ existe.
El profesor me dio 3/4 puntos en la pregunta. Su comentario fue que debería haber considerado también el teorema del valor medio. No escribieron nada sobre mi análisis del teorema del valor intermedio, pero sigo teniendo graves dudas sobre mi aplicación del teorema del valor intermedio... y, en cuanto al teorema del valor medio, no tengo ni idea de cómo proceder.
¿Alguien podría aclarar cómo se pueden utilizar los teoremas del valor intermedio y del valor medio para determinar si existe un $t$ donde $v(t) = -22$ ? Muchas gracias.
