Pregunta integral indefinida

Question

Hola podría ayudarme con lo siguiente

$$\int_0^\infty \frac{dx}{x^2 (\sin x)^{2/3}}$$

¿Cómo puedo demostrar que esta integral es convergente? Gracias.

Answer 1

Si está interesado en $$\int_0^\infty \frac{dx}{x^2((\sin x)^2)^{1/3}},$$ entonces no puedes demostrar que la integral es convergente, ya que de hecho es divergente. Informalmente, la función explota demasiado rápido cerca de $0$ para que la integral exista. Si quieres hacer una comparación formal, hazlo por ejemplo con $\int_0^\infty \frac{dx}{x^2}$ que es divergente. El problema es que $\int_{\epsilon}^1 \frac{dx}{x^2}$ explota como $\epsilon$ se acerca a $0$ de la derecha.