Comprobación de la convergencia de $\sum\frac{\sin nx}{n}$

Question

Considere la secuencia $$f_n(x)=\sum_{k=1}^{n}\frac{\sin kx}{k}\quad x\in \mathbb{R}$$ ahora tenemos que comprobar la convergencia de $\{f_n\}$ .

Ahora, he utilizado el criterio de Dirichlet para demostrar que $f_n$ converge puntualmente. Pero la convergencia uniforme o la convergencia absoluta de esta secuencia, no puedo concluir. ¿Alguien puede decirme cómo buscarla? Gracias.

Answer 1

Más es cierto: Si (a _n ) es no negativa y decreciente, entonces la serie $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}\sin (nx)}$ es iniformemente convergente en R si y sólo si n a _n tiende a 0. Se puede demostrar lo contrario simplemente comprobando en el intervalo [0,π]. En este intervalo converge a una función continua g(x), suponiendo que es convergente uniforme se puede integrar g término a término para obtener $\sum\limits_{n = 1}^\infty {{a_n}} \frac{1}{n}(1 - \cos (nx))$ . Nótese que g es 0 en 0 y es continua en 0. Entonces para x pequeño digamos x = π / k, |g(x)| < ε para |x| < δ. Entonces $\int_0^\theta {g(x)dx \le \theta \varepsilon }$ para 0 < θ <δ. Ahora elija π / k < δ . Entonces se puede demostrar que ${a_k} < \sum\limits_{n = 1}^k {\frac{{{a_n}}}{n}(1 - \cos (n\pi /k) < } \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{a_n}}}{n}(1 - \cos (n\pi /k) = \varepsilon \pi /k}$ . De aquí se puede concluir que k a _k tiende a 0. Como k 1/k = 1 no tiende a 0 , la serie no es uniformemente convergente en [0, π] y por tanto no es uniformemente convergente en R.

Ver Ejercicio 21 Pregunta 26 en https://037598a680dc5e00a4d1feafd699642badaa7a8c.googledrive.com/host/0B4HffVs7117IbmZ2OTdKSVBZLVk/MA3110/Chapter%209%20Uniform%20Convergence%20and%20Integration.pdf