¿Qué valores toma la función phi de Euler? Por ejemplo, se puede demostrar que $\varphi(n)$ es incluso para $n \neq 1$ o $2$ reduciendo la igualdad $\displaystyle n= \sum\limits_{d|n} \varphi(d)$ modulo $2$ Así que $\varphi (\mathbb{N}^*) \subset 2\mathbb{N} \cup \{1\}$ (de hecho, estrictamente incluido; véase por ejemplo aquí ).
¿Sabemos exactamente $\varphi(\mathbb{N}^*)$ ?
Esta es una pregunta bastante difícil en general. Creo que los resultados más parecidos a lo que buscas los obtuvo Kevin Ford en el primero de sus dos artículos de referencia en este ámbito: "The distribution of totients", Ramanujan J. (1998) y "The number of solutions of $\phi(x) = m$ ," Annals of Math. (1999). Ambos están disponibles en su página web . Parafraseando el Teorema 12 de El documento de Ford , más números en $\varphi(\mathbb N)$ tienen un número inusualmente alto de factores primos.
Esto no es demasiado sorprendente, dado que la mayoría de las primeras potencias $p^k \mid\mid n$ inducir al menos $k+1$ factores primos en $\varphi(n)$ ya que $p-1$ tiene al menos $2$ factores (para $p \ge 5$ ). Pero hay una estimación sorprendentemente precisa de cuántos factores adicionales se obtienen de esta manera.
Si $\Omega(n)$ cuenta el número de divisores primos de $n$ con multiplicidad (por ejemplo $\Omega(2^3\cdot 5) = 4$ ), es bien sabido que para un típico entero, $\Omega(n) \approx \log \log n$ (ver Hardy-Ramanujan o la hermosa Erdős-Kac teorema). Sin embargo, un típico $m \in \varphi(\mathbb N)$ satisface $$\Omega(m) \approx 2.186263 \log \log m,$$ donde la constante (presumiblemente trascendental) es igual a $(1-\varrho)^{-1}$ con $\varrho$ siendo la única raíz positiva de la serie de potencias $\sum_{n=0}^\infty ((n+1)\log(n+1)-n\log n-1) x^n$ .
La afirmación anterior debería indicarle dos cosas: que la estructura del conjunto $\varphi(\mathbb N)$ probablemente esté lejos de ser trivial, y también que sea algo escaso, ya que está formado en su mayoría por enteros atípicos. De hecho, el teorema principal del trabajo (Teorema 1) da el orden de magnitud preciso de la función de recuento $V(x) := \#\{n \le x : n \in \varphi(\mathbb N)\}$ . Hasta algunas constantes multiplicativas,
$$V(x) \asymp \frac{x}{\log x} \exp(C(\log \log \log x - \log \log \log \log x)^2 + D(\log \log \log x) - (D + 1/2 - 2C) \log \log \log \log x),$$
donde $C \approx 0.8178146$ y $D \approx 2.1769687$ también surgen de la serie de potencias anterior. Enunciando esta intimidante fórmula con menos precisión, también podríamos decir $$V(n) = \frac{n}{\log n} \exp(C_n \log \log \log^2 n),$$ donde $C_n \to C$ .
Así que los números que aparecen en $\varphi(\mathbb N)$ son un poco más comunes que los primos. Como es típico en la teoría probabilística de números, estos fenómenos tienden a ser extremadamente difíciles de presenciar experimentalmente, ya que $\log \log \log n$ crece tan lentamente (y con gran dignidad).
(Suponiendo que la pregunta sea corregida para indicar incluso para $\phi$ )
El concepto del que hablas se denomina número no toticial. Todos los números Impares $\gt 1$ son no-titulares y también lo son algunos de los números pares.
Hay un conjunto de condiciones necesarias que reducen los candidatos que son noticiosos pares, pero el número de condiciones varía con el número. Por ejemplo, dado que $\phi (p) = p-1$ , un notiente no es uno menos que un primo ( $\phi + 1$ no primo). Como $\phi (3p) = 2(p-1)$ un notiente no puede ser dos veces un número uno menos que un primo ( $\frac{\phi}2 + 1$ no primo). Puedes seguir creando condiciones para cubrir las formas de todos los semiprimes con factores pequeños y más allá.
Así que, por lo que sé, al igual que con los primos, puedes reducir los candidatos bastante rápidamente utilizando los primos pequeños, pero los valores exactos que son cototientes requieren un poco de pruebas en cada uno.
Se equivoca. Se puede demostrar que $\varphi(p_1^{k_1} p_2^{k_2} \ldots p_r^{k_r}) = p_1^{k_1 - 1} (p_1 - 1) p_2^{k_2 - 1} (p_2 - 1) \ldots p_r^{k_r - 1} (p_r - 1)$ si esa es la descomposición prima del número. Si $n$ es divisible por 4, $\varphi(n)$ es uniforme. Si $n$ es divisible por un primo impar, $\varphi(n)$ está en paz. Así que sólo $\varphi(1) = \varphi(2) = 1$ son impar.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
