Número de clases de $D$ -potencia de la matriz de transición de una cadena de Markov irreducible con período $D$

Question

Supongamos que una cadena de Markov tiene una matriz de transición $P$ es irreducible y recurrente positivo con periodo $D$ (mayor que $1$ ). Consideremos una nueva cadena de Markov con una matriz de transición $P^D$ . ¿Es esto también irreductible?

Creo que habrá exactamente $D$ clases comunicantes por lo que no es irreducible. Podemos dividir nuestra cadena de Markov original en $D$ conjuntos, $T_i$ para $i = 0, 1, 2, ..., D - 1$ de manera que cualquier estado en $T_i$ debe ir a $T_{i+1}$ y $T_D = T_0$ . Entonces, para nuestra nueva cadena de Markov, éstas serán nuestras clases (no estoy seguro de cómo demostrarlo). Pero como mínimo, $T_0$ y $T_1$ no están en la misma clase porque las cosas en $T_0$ sólo puede ir a cosas en $T_0$ en un múltiplo de $D$ pasos. ¿Es esto correcto? ¿Cómo es que no estamos utilizando el criterio de recurrencia positiva?

Además, he olvidado la construcción necesaria para esta descomposición cíclica, así que estaría bien si alguien pudiera enlazar una prueba.

Answer 1

La recurrencia positiva se reserva para otra parte del problema, probablemente relacionada con la extensión periódica. La afirmación que has dicho es cierta incluso sin la propiedad de recurrencia. La descomposición cíclica probablemente no es necesaria para esta cuestión. Podemos fijar un estado $a$ y descomponer el espacio de estados por el número de pasos $nd+i$ de $a$ , donde $n\in\mathbb{N}$ . Intenta demostrar que se trata de una descomposición disjunta y cerrada (en la noción de clase comunicante). Entonces, bastará con demostrar que el enunciado de la pregunta es verdadero.