Su definición de solidez es incorrecta. Una teoría es sólida si no contiene frases que sean falsas con respecto a una estructura específica (o una clase de estructuras) de interés .
Ahora bien, por una cuestión de práctica desafortunada, generalmente sólo consideramos la solidez cuando ese contexto específico se entiende en el fondo, por lo que lo omitimos. Por ejemplo, cuando decimos
La aritmética de Peano es sólida
lo que realmente queremos decir es
La aritmética de Peano es sólida con respecto a la estructura $(\mathbb{N};+,\times)$ es decir, para cada axioma $\varphi$ de la aritmética de Peano tenemos $(\mathbb{N};+,\times)\models\varphi$ .
Mientras tanto, la aritmética de Peano es no sonido con respecto al único $1$ -elemento $\{+,\times\}$ -(básicamente, el anillo trivial).
Creo que en realidad es útil dar un paso atrás y reformular ambos solidez y coherencia de manera más general. En concreto, dada una clase de estructuras $\mathbb{K}$ y una teoría $T$ decimos:
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$T$ es sonido con respecto a $\mathbb{K}$ si para cada $\mathcal{A}\in\mathbb{K}$ tenemos $\mathcal{A}\models T$ .
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$T$ es semánticamente consistente con respecto a $\mathbb{K}$ si para algunos $\mathcal{A}\in\mathbb{K}$ tenemos $\mathcal{A}\models T$ .
La diferencia fundamental es, pues, la distinción "todos"/"algunos". Sin embargo, hay una segunda diferencia que se debe a la práctica: normalmente cuando hablamos de solidez nos referimos tácitamente a un $\mathbb{K}$ que consiste en un solo estructura, y casi siempre cuando hablamos de consistencia semántica nos referimos tácitamente a la clase de todo estructuras. Por lo tanto, hay realmente dos diferencias entre la solidez y la consistencia semántica: la solidez normalmente mira a un pequeño contexto, mientras que la coherencia semántica suele contemplar un grande contexto, y con respecto a esa clase la solidez es un universal condición mientras que la consistencia es una existencial uno.
Dicho esto, como he mencionado anteriormente casi siempre trabajar con referencia a la clase de todas las estructuras cuando se piensa en la consistencia semántica. Así que a la luz de eso su definición de consistencia semántica es correcto . Tenga en cuenta que el teorema de exhaustividad muestra que el "compromiso realista" en la noción de consistencia semántica (con respecto a la clase de todas las estructuras) (es decir, que las estructuras matemáticas son cosas que realmente existen y sobre las que las oraciones son verdaderas o falsas) puede ser eliminado; por el contrario, no hay realmente un resultado análogo para la solidez(es).
