Encuentre $\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}$

Question

Encuentre

$$\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}\;.$$

Aplicar directamente la regla de L'Hopital no parece llevarme a ninguna parte. También he probado a dividir el numerador y el denominador por $\sin(x)$ que no parecía funcionar.

¿Hay algún tipo de truco que me esté perdiendo?

Answer 1

Me gusta hacerlas ampliando las series de potencia sobre $x=0$ . Ayuda a notar que $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin (2x)$ .

Pero si se hace L'Hospital 3 veces se obtiene $$ \frac{4 \cos 2x}{4 \cos 2x - \cos x} \rightarrow \frac{4}{3}$$

Eso es, $$ \frac{x-\frac{1}{2}\sin(2x)}{\sin x-\frac{1}{2}\sin(2x)} \\ \frac{1-\cos(2x)}{\cos x-\cos(2x)} \\ \frac{2\sin(2x)}{2\sin(2x)-\sin x}\\ \frac{4\cos(2x)}{4\cos(2x)-\cos x} \rightarrow \frac{4}{3} $$

Answer 2

$$\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}=\frac{x-\sin(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}+1=\frac{x-\sin(x)}{\sin(x)2\sin^2(x/2)}+1.$$

Entonces, $\sin x=x+o(x^3)=x-x^3/6+o(x^5)$ y el límite es el de $$\frac{\frac{x^3}6}{\frac{x^3}2}+1.$$

Answer 3

Tal y como contestó Joffysloffy, las series de Taylor son extremadamente convenientes para resolver el problema del límite e incluso más.

Vuelve a escribir, como sugirió Michael Hardy, $$A=\dfrac{x-\sin x\cos x}{\sin x-\sin x\cos x} = \dfrac{2x - \sin(2x)}{2\sin x-\sin(2x)}$$ y utilizar el hecho de que $$\sin(y)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}y^{2n+1}$$ Así, el numerador se escribe $$\frac{4 x^3}{3}-\frac{4 x^5}{15}+\frac{8 x^7}{315}+O\left(x^8\right)$$ y el denominador $$x^3-\frac{x^5}{4}+\frac{x^7}{40}+O\left(x^8\right)$$ Así, realizando la división larga $$A=\frac{4}{3}+\frac{x^2}{15}+\frac{11 x^4}{1260}+O\left(x^5\right)$$ que da no sólo el límite sino también la forma de abordarlo.

Si se traza la función y la aproximación para $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ Probablemente se sorprenderá al notar lo cerca que están las dos curvas.

Lo que es interesante (¡al menos para mí!) es que, si tuvieras que resolver para $x$ la ecuación $A=\frac{3}{2}$ la aproximación limita el problema a una cuadrática en $x^2$ y la solución sería $$x=\sqrt{\frac{1}{11} \left(\sqrt{4074}-42\right)}\approx 1.40867$$ mientras que la solución exacta es $\approx 1.37873$ . Utilizar sólo la aproximación de segundo orden llevaría inmediatamente a $x=\sqrt{\frac{5}{2}}\approx 1.58114$ que ya es una buena aproximación de la que puede partir cualquier método de búsqueda de raíces.