Encuentre $\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}$

Question

Encuentre

$$\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}\;.$$

Aplicar directamente la regla de L'Hopital no parece llevarme a ninguna parte. También he probado a dividir el numerador y el denominador por $\sin(x)$ que no parecía funcionar.

¿Hay algún tipo de truco que me esté perdiendo?

Answer 1

En lugar de utilizar la regla de l'Hôpital (que sí funciona aquí si se utiliza repetidamente), la expansión de Taylor de la función seno es especialmente útil aquí. Así, escribimos $$\sin(x)=x-\frac{1}{6}x^3+\mathcal{O}(x^5).$$ Observando que $\sin(x)\cos(x)=\frac{1}{2}\sin(2x)$ vemos que $\sin(x)\cos(x)=x-\frac{2}{3}x^3+\mathcal{O}(x^5)$ (sustituyendo $x$ con $2x$ en la expansión de Taylor y luego dividiendo por $2$ ).
Ahora podemos calcular el límite: $$\begin{aligned} \lim_{x\to 0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}&=\lim_{x\to 0}\frac{x-(x-\frac{2}{3}x^3+\mathcal{O}(x^5))}{x-\frac{1}{6}x^3+\mathcal{O}(x^5)-(x-\frac{2}{3}x^3+\mathcal{O}(x^5))}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{3}x^3+\mathcal{O}(x^5)}{\frac{1}{2}x^3+\mathcal{O}(x^5)}\\ &=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{2}{3}+\mathcal{O}(x^2)}{\frac{1}{2}+\mathcal{O}(x^2)}=\frac{4}{3}. \end{aligned}$$

Answer 2

$$\lim_{x \to 0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}=\lim_{x \to 0}\frac{x-\frac{\sin(2x)}{2}}{\sin(x)-\frac{\sin(2x)}{2}}$$

Answer 3

1) Aplicar la regla de L'Hopital

2) $\cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x)$

3) Aplicar la regla de L'Hopital (2ª vez)

4) Aplicar la regla de L'Hopital (3ª vez)

Answer 4

Aplicar L'Hospital para igualar las partes rojas: $$ \begin{align} \lim_{x\to0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)} &=\lim_{x\to0}\left(1+\frac{x-\sin(x)}{\sin(x)(1-\cos(x))}\right)\\ &=\lim_{x\to0}\left(1+\color{#C00000}{\frac{x-\sin(x)}{\sin^3(x)}}(1+\cos(x))\right)\\ &=\lim_{x\to0}\left(1+\color{#C00000}{\frac{1-\cos(x)}{3\sin^2(x)}}\frac{1+\cos(x)}{\color{#C00000}{\cos(x)}}\right)\\ &=\lim_{x\to0}\left(1+\frac1{3\cos(x)}\right)\\[3pt] &=\frac43 \end{align} $$

Answer 5

Puede utilizar los hechos conocidos que $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2} $$ o $$ \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1 \qquad\text{and}\qquad \lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos x}=2 $$

A continuación, puede escribir $$ \lim_{x \to 0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)-\sin(x)\cos(x)}= \lim_{x\to0} \frac{x-\sin(x)\cos(x)}{x^3} \frac{x}{\sin x} \frac{x^2}{1-\cos x} $$ por lo que sólo hay que calcular $$ 2\lim_{x\to0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{x^3} $$

Ahora \begin{align} 2\lim_{x\to0}\frac{x-\sin(x)\cos(x)}{x^3} &=2\lim_{x\to0}4\frac{2x-2\sin x\cos x}{8x^3}&&\text{(set $2x=t$)}\\[2ex] &=8\lim_{t\to0}\frac{t-\sin t}{t^3}&&\text{(apply l'Hôpital)}\\[2ex] &=8\lim_{t\to0}\frac{1-\cos t}{3t^2}&&\text{(known limit)}\\[2ex] &=8\cdot \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \end{align}