Comprensión del lema de Poincaré en una variable Griffith y Harris

Question

Me gustaría entender un pequeño detalle de la prueba. ¿Cómo es que terminamos con un factor de $\frac{-1}{\pi}$ . Entiendo dónde está el $-1$ de la que proviene, aunque no sé qué pasó con el $2$ . Entiendo todo lo demás línea por línea.

$\bar\partial$ -Lema de Poincaré en una variable. Dado $g(z)\in C^\infty(\bar\Delta)$ la función $$f(z)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_\Delta\frac{g(w)}{w-z}dw\wedge d\bar w$$ se define y $C^\infty$ en $\Delta$ y satisface $$\frac{\partial f}{\partial\bar z}=g.$$

Prueba. Para $z_0\in\Delta$ elija $\varepsilon$ de manera que el disco $\Delta(z_0,2\varepsilon)\subset\Delta$ y escribir $$g(z)=g_1(z)+g_2(z),$$ donde $g_1(z)$ se desvanece en el exterior $\Delta(z_0,2\varepsilon)$ y $g_2(z)$ se desvanece en el interior $\Delta(z_0,\varepsilon)$ . La integral $$f_2(z)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_\Delta g_2(w)\frac{dw\wedge d\bar w}{w-z}$$ está bien definido y $C^\infty$ para $z\in\Delta(z_0,\varepsilon)$ allí tenemos $$\frac{\partial}{\partial\bar z}f_2(z)=\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_\Delta\frac{\partial}{\partial\bar z}\left(\frac{g_2(w)}{w-z}\right)dw\wedge d\bar w=0.$$ Desde $g_1(z)$ tiene un soporte compacto, podemos escribir $$\begin{align*} \frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_\Delta g_1(w)\frac{dw\wedge d\bar w}{w-z} & =\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_\mathbb{C} g_1(w)\frac{dw\wedge d\bar w}{w-z}\\ & =\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_\mathbb{C} g_1(u+z)\frac{du\wedge d\bar u}{u}, \end{align*}$$ donde $u=w-z$ . Cambio a coordenadas polares $u=re^{i\theta}$ esta integral se convierte en $$f_1(z)=-\frac{1}{\pi}\int_\mathbb{C}f_1(z+re^{i\theta})e^{-i\theta}dr\wedge d\theta,$$ que está claramente definida y $C^\infty$ en $z$ . Entonces $$\begin{align*} \frac{\partial f_1(z)}{\partial\bar z} & =-\frac{1}{\pi}\int_\mathbb{C}\frac{\partial g_1}{\partial\bar z}(z+re^{i\theta})e^{-i\theta}dr\wedge d\theta\\ & =\frac{1}{2\pi\sqrt{-1}}\int_\Delta\frac{\partial g_1}{\partial\bar w}(w)\frac{dw\wedge d\bar w}{w-z}; \end{align*}$$

Answer 1

Si $u = re^{i\theta}$ entonces $du = e^{i\theta}dr + ire^{i\theta}d\theta$ , mientras que $\bar{u} = re^{-i\theta}$ así que $d\bar{u} = e^{-i\theta}dr - ire^{-i\theta}d\theta$ . Así que

$$du\wedge d\bar{u} = (e^{i\theta}dr + ire^{i\theta}d\theta)\wedge (e^{-i\theta}dr - ire^{-i\theta}d\theta) = -irdr\wedge d\theta + ird\theta\wedge dr = -2irdr\wedge d\theta$$

y por lo tanto $$\dfrac{1}{u}du\wedge d\bar{u} = \dfrac{-2ir}{re^{i\theta}}dr\wedge d\theta = -2ie^{-i\theta}dr\wedge d\theta.$$

Por ello, el coeficiente $\dfrac{1}{2\pi i}$ en $g_1$ se convierte en $-\dfrac{1}{\pi}$ en $f_1$ .